Пусть n ∈ N. Тогда количество цифр q в десятичной записи числа n вычисляется по формуле

q=[log(10,n)]+1.

Доказательство. Если натуральное число состоит из q цифр, то оно ограничено снизу наименьшим q-значным числом и строго ограничено сверху наименьшим (q+1)-значным числом. Наименьшее q-значное число равно 10^(q-1), а наименьшее (q+1)-значное число равно 10^q. То есть верно следующее двойное неравенство:

10^(q-1) ≤ n ≤ 10^q

Применим логарифмическую функцию по основанию 10 ко всем частям двойного неравенства:

q-1 ≤ log(10,n) ≤ q

Знак сохранился ввиду того, что основание логарифмической функции больше 1 и она строго монотонно возрастающая на всей области определения.

Обратимся к определению функции антье (нижняя целая часть числа):
для любого действительного числа x его нижняя целая часть — это такое наибольшее целое число m, что выполняется условие:

m ≤ x ≤ m+1

Перепишем наше равенство в эквивалентном виде:

q-1 ≤ log(10,n) ≤ (q-1)+1

Видно, что оно точно совпадает с определением функции антье, где роль x играет log(10,n), а роль целого числа m играет (q-1).
Следовательно, по определению:

[log(10,n)]=q-1 <=> q=[log(10,n)]+1

Тоерема доказана.