Пусть t(x)=|x-a-1|+|x-a+1|. Геометрически на вещественной прямой эта сумма расстояний от переменной точки х до фиксированных точек a+1 и a-1. Расстояние между этими точками равно 2. В силу кусочно-линейного анализа, получим, что минимум этой функции достигается на отрезке [a-1;a+1] и равен 2. То есть:

Для любого x ∈ [a-1;a+1] значение t(x)=2. Это означает, что на данном промежутке несчетное множество решений.
Вне этого отрезка функция строго монотонна по обе стороны. Таким образом, для любого значения T>2 будет ровно два решения (что нам и нужно), для T<2 ноль решений.

Сделаем замену и получим квадратное уравнение относительно t:

P(t)=t^2+at+a^2-16=0.

Нужно чтобы исходное уравнение имело ровно два различных корня x. А это возможно тогда и только тогда, когда полином P(t) имеет ровно один корень строго больше 2, а остальные корни (если они есть) строго меньше 2.

Первый случай. Пусть корни различны, один строго больше 2, другой строго меньше 2. Так как старший коэффициент параболы положителен, корни будут лежать по разные стороны от точки t=2 тогда и только тогда, когда значение полинома в этой точке отрицательно.

P(2)=2^2+2a+a^2-16=a^2+2a-12.

Требуем P(2)<0:

a^2+2a-12<0 => (a+1)^2-13<0 => a ∈ (-1-sqrt(13);-1+sqrt(13)).

Второй случай. Есть один корень и этот корень строго больше 2.
Найдем дискриминант D=64-3a^2.
Он должен быть равен нулю 64-3a^2=0 => a=+-8/sqrt(3).
При D=0 единственный корень полинома равен t_0=-a/2. Проверим оба значения параметра:
a=8/sqrt(3), t_0=-4/sqrt(3)<2 — не подходит.
a=-8/sqrt(3), t_0=4/sqrt(3)>2 — подходит.

Объединим результат из двух случаев, получим:

a ∈ (-1-sqrt(13); -1+sqrt(13)) ∪ {-8/sqrt(3)}

Ответ: a ∈ (-1-sqrt(13); -1+sqrt(13)) ∪ {-8/sqrt(3)}.