Математика с нуля on Telegram: “Пусть 253=bq+r. Тогда bq=253−r. Искомое b может…”

Пусть 253=bq+r. Тогда bq=253−r. Искомое b может быть лишь среди делителей числа 253−r, причем оно должно быть больше r. Но тогда и само число 253−r тоже будет больше r, т. е. запись 253=(253−r)⋅1+r будет записью деления с остатком. Поскольку запись деления с остатком r должна быть единственной, то никаких других записей деления с остатком не должно быть. Это означает, что все делители числа 253−r, отличные от самого этого числа, не превосходят r.

Учитывая условие 253−r>r, откуда r≤126, приходим к необходимости перебора значений r. Этот перебор может быть существенно сокращен использованием соображений четности.

В ответ входят все четные числа, большие 64. Это связано с тем, что при вычитании из 253 четного числа, большего 64, полученная разность будет нечетна и меньше, чем 3⋅64, поэтому все ее делители (кроме самого числа) будут заведомо меньше 64, а значит, и вычитаемого числа r.

Рассмотрим нечетные числа r. Если r нечетно, то 253−r четно. Значит, число 253−r имеет делитель (253−r)/2. Этот делитель должен быть меньше r, а тогда r≥85. Поэтому, начиная с 85, все числа входят в ответ.

r∈{2, 12, 14, 20, 24,26,30,32,36,42,44,48,50,54,56,60,62,64,66,68,70,72,…,84,85,…126}.