Вещественное возведение в степень (когда и основание, и показатель, и результат вещественны) - не определено для отрицательного основания вообще (кроме целочисленных степеней).

Конечно же, -2 можно извлекать кубический корень - но не возводить в степень 1/3. Иногда говорят, что всё-таки можно возводить в степень 1/3, имея в виду извлечение кубического корня; но, по-моему, это запутывает, приводя к парадоксам и противоречиям.

Возведение комплексного числа в рациональную степень. В том числе и возведение отрицательного числа в рациональную степень, в том числе -2 в степень 1/2 или 1/3. Но это уже другая операция - в отличие от вещественного возведения в степень, эта операция многозначна. Если возвести что-то в степень 1/2, будет два значения, если в степень 1/3 - будет три значения (одно из которых, да, кубический корень). Даже 1^(1/2) в смысле этой операции имеет два значения: 1 и -1

Часто ли у вас возникали ошибки и недопонимания ввиду подобного?