Доказательство №1

Рассмотрим разности соседних членов прогрессии, то есть: b ₂ - b ₁, b ₃ - b ₂, b ₄ - b ₃, ... , b ₙ - b ₙ ₋ ₁, b ₙ ₊ ₁ - b ₙ
Имеем: b ₁ (q - 1), b ₂ (q - 1), b ₃ (q - 1), ... , b ₙ ₋ ₁ (q - 1), b ₙ (q - 1) Если все их выписать, то легко заметить, что это есть искомая сумма умноженная на (q - 1). Получаем:

S ₙ ⋅ (q - 1) = (b ₁ + b ₂ + b ₃ + ... + b ₙ ₋ ₁ + b ₙ ) ⋅ (q - 1), но наша сумма b ₁ + b ₂ + b ₃ + ... + b ₙ ₋ ₁ + b ₙ = b ₙ ₊ ₁ - b ₁, как это видно, если выписать все члены в общем виде, откуда следует:
S ₙ = (b ₙ ₊ ₁ - b ₁)/(q - 1).

P. S. Попробуйте порисовать члены прогрессии в геометрическом представлении и посмотреть на их разности, чтобы лучше уяснить, как до этого доказательства можно дойти.