Математикотики

Від підписника

Далі, звісно ж, ні про яку циклічність мова не йде, на останньому зображенні ви бачите 10 обльотів — абсолютний хаос.

Тепер якщо ви десь почуєте, що в астрономії потрібна надвисока точність обчислень, ви знатимете, про що іде мова.

А пам'ятаю, як я ще на третьому курсі починав вивчати чисельні методи, то думав, що вимагати точності в 6 знаків після коми — це занадто 🫠

Та навіть такої, здавалося би, нехтовної невідповідності вистачає, аби вже на п'ятому колі траєкторія помітно відхилилася від потрібної.

Зделеку здається, що вона замкнена, але приблизивши зображення до точки (0, 0.994), бачимо розрив — початковий стан (лівіше) не збігається з остаточним.

Втім, цей розрив є дуже малим — зверніть увагу на масштаб осей.

Іншими словами, з часом система повинна (на папері) прийти в той самий стан, з якого вона починала. Ось тут і криється приємний для нас нюанс: якщо ми інтегруватимемо систему наближено, то через похибки й нестійкість система не зациклиться. Здавалося би, що ж тут приємного? А те, що різниця між першим і остаточним положеннями тіла нехтовної маси (яка [різниця] мала би дорівнювати нулю) вкаже нам на якість методу інтегрування — чим ближче до нуля, тим ліпше!

На зображенні нижче ви бачите траєкторію, яку я згенерував за завданням із книги (умову розміщу в коментарях).

З деяких причин теоретична оцінка похибки, яку дає метод, далеко не завжди збігається з похибкою, яку він має на практиці. Якщо хочете, аби ми колись розповіли, чому так відбувається — поставте клоуна 🤡 цьому допису.

Аби оцінити метод в ділі, його піддають випробуванням — перевіряють, як він здатний впоратися з різноманітними каверзними задачами. І однією з таких задач є побудова орбіти Аренсторфа.


Задача трьох тіл у загальній постановці враховує всі три маси, однак часто на практиці одну з мас можна встановити рівною нулю. Так, наприклад, маса ракети чи супутника є нехтовно малою порівняно з масою таких астрономічних тіл як Земля, Місяць, Сонце тощо. Така задача отримала назву обмеженої задачі трьох тіл.

У самий розпал холодної війни й космічної гонки дехто Richard F. Arenstorf, математик із NASA, досліджував дану задачу і показав, що в неї можливі періодичні розв'язки. Тобто за відсутності зовнішніх сил система самоповторюватиметься — як це показано, наприклад, на гіфці нижче.

Ботаю зараз книгу Хайрера про інтегрування диференціальних рівнянь, повторюю деякі теми, і натрапив на дуже цікаву конструкцію — орбіти Аренсторфа.


Два факти, що найчастіше озвучуються в матеріалах про задачу трьох тіл:

☢ Ця задача не має розв'язків у вигляді "замкненої" формули;

☣ Система трьох (чи більше) тіл є нестійкою — невеликі збурення в початкових умовах ведуть до сильно різної еволюції системи.

Що це означає для нас як для людей, що намагаються передбачити рух астрономічних тіл, яких зазвичай навіть більше, ніж 3? Те, що, по-перше, ми шукатимемо наближений розв'язок задачі за допомогою чисельних методів (див. наше з AreMath відео), а по-друге, те, що внаслідок нестійкості системи похибка, яку дають ці методи з часом "розхитуватиме" наближений розв'язок і він усе сильніше відрізнятиметься від реальної траєкторії — навіть якщо початкові умови були задані дуже близько до істинних.

Цієї проблеми, нажаль, остаточно не усунути. Єдине, що нам залишається — розробляти якнайточніші чисельні методи.

The proof is left as an exercise to the reader

З книги Solving Ordinary Differential Equations I, Nonstiff Problems.

Хто не потрапив на лекцію з теорії прийняття рішень — для вас виклали запис на YouTube-каналі Scientific Meetings! 😺

Відкриті курси кафедри математики КАУ (онлайн формат), осінній семестр 2025 року
(для бакалаврів і магістрів університетів України і не лише)

1) Маловимірна топологія, по понеділках в 14:00.
Перша лекція - 8 вересня 2025 року

2) Загальна топологія (Максименко), по четвергах в 14:00.
Перша лекція - 4 вересня 2025 року

3) Комплексний аналіз (Плакса, Шпаківський), по п'ятницях в 11:00.
Перша лекція - 19 вересня 2025 року

4) Ймовірнісні розподіли на нескінченновимірних просторах (Рябов), по середах в 14:30.
Перша лекція - 3 вересня 2025 року

5) Методи негладкої та стохастичної оптимізації (Стецюк, Корабльов), по п'ятницях в 15:30.
Перша лекція - 5 вересня 2025 року

6) Додаткові розділи лінійної алгебри (Рабанович), по четвергах в 11:30.
Перша лекція - 4 вересня 2025 року

Якщо Вас зацікавили наведені вище курси, пишіть https://t.me/m_mokka (Олена Мочук) щодо приєднання до відповідних груп.
Студенти, що успішно здадуть іспити, отримають відповідні сертифікати про прослухані курси.

Усіх підписників каналу вітаємо з переходом у п'ятий клас!

А ось і свіженький номер нашої газети 😺

У цьому випуску Ви знайдете:
📌  Рецензію на книгу "Infinite Powers" Стівена Строґаца  
📌 Задачі з IMO 2025  
📌 Новий формат — огляд крайніх математичних досліджень! На цей раз, як і обіцяли, шукаємо зв'язок між хаотичністю та випадковістю
📌 Та, звичайно ж, іще кілька цікавих задач для любителів нових досягнень 😼

Хочете отримувати розсилку прямо на свою електронну пошту? Тоді заповнюйте невеличку гугл-форму 😺

Усім дякую за гарно проведений час!

Слідкуйте за анонсами, далі ще більше лекцій 😺

🔔Zoom. Теорія прийняття рішень: як мислити, коли неясно, що робити🌐
28 серпня 20:00
Наш спікер: 👨‍🏫Руслан Голубощенко, засновник підліткової школи прикладної математики 🐱«Математикотики».
Чи справді ми діємо раціонально, коли робимо вибір? Чому іноді шкодуємо про прийняте рішення, навіть коли воно здавалося правильним? Як ухвалювати рішення в умовах невизначеності — коли немає ідеального варіанту, а ризики є завжди?
Ця лекція — спроба подивитися на процес вибору з наукової точки зору. Ми обговоримо, що таке хороше рішення, як відрізняються індивідуальний і колективний вибір, і чому навіть найрозумніші системи можуть вести нас до абсурдного результату. Математика тут допоможе не лише рахувати, а й розуміти себе.

Link:
https://us02web.zoom.us/j/86197519647?pwd=qU2oZCogAAaem7InvJ9YbaC6KD5YIi.1

ID:
861 9751 9647

Pass:
823300