برهان خلف؛ ابزار شرافتمندانه ریاضیدانان برای اثبات حکم

اقلیدس، در حدود ۲۳ قرن قبل، با نوشتن کتاب اصول، هندسه را استحکام بخشید. از این روست که او را بنیان‌گذار هندسه یا پدر هندسه می‌خوانند. او شیفته و دلباخته برهان خلف بود. این را می‌توان در خط به خط اثبات‌هایش برای هندسه دید.

مبارزه برای تفوق بر حکم یک مسأله ریاضی را می‌توان به بازی شطرنج تعبیر نمود. یک ریاضیدان باید با آینده‌نگری گزاره‌های خود را همانند مهره‌های شطرنج در کنار هم بچیند تا به آرایش درست برای پیروزی دست یابد. در این میان شاید لازم باشد گزاره‌ای را فدا کند تا حکمی را به اثبات برساند.

هاردی، ریاضیدان برجسته‌ای که به دلیل کارهای عمیقش در نظریه اعداد و آنالیز ریاضی معروف است، در حدود ۲۲ قرن بعد از اقلیدس، عشق او به برهان خلف را می‌ستاید. از نظر هاردی تفاوت ظریفی بین طعمه‌فکنی در بازی شطرنج و استفاده از برهان خلف وجود دارد. وی معتقد است آنچه برهان خلف را شرافتمندانه‌تر از ترفندهای برد در شطرنج می‌سازد این است که یک ریاضیدان، هنگام استفاده از برهان خلف کل بازی را واگذار می‌کند و فدا کردن یک گزاره را شایسته رسیدن به حکم نمی‌داند.

یک ریاضیدان در هنگام استفاده از برهان خلف برای اثبات حکم، خودِ حکم را به تمامی تقدیم می‌کند. این رویکرد سخاوتمندانه چنان اثربخش است که پیروزی را نصیب ریاضیدان می‌گرداند.

تاریخ ریاضیات نشان می‌دهد که بخش معتنابهی از قضایای اثرگذار ریاضی بدین روش به اثبات رسیده‌اند؛ قضایایی که مسیر حرکت ریاضیات را به گونه‌ای شکل داده‌اند تا امروز به عنوان ملکه علوم بر اریکه دانش تکیه زند. ریاضیدانان امروز، این فرمانروایی بر سایر علوم پایه را بی‌تردید مدیون اسطوره‌هایی هستند که روزی برای نجات سرزمین ریاضیات، حکم را به تمامی تقدیم کرده‌اند.

مجید میرزاوزیری
@harmoniclib