math_field

#ЮМТ

Начался Южный математический турнир ☀️ Как обычно, мы будем держать вас в курсе событий 🔥

Сегодня в варианте командной олимпиады старших было целых четыре геометрии 📐 Две из них — классические: та, что попроще авторства Чуйко Александра в обработке Павла Александровича, та, что посложнее авторства Владимира Конышева.

Задача. Дан четырёхугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷, диагонали которого пересекаются в точке 𝐾. Точка 𝑃 такова, что ∠𝑃𝐴𝐵 = ∠𝑃𝐶𝐷 = 90°. Точка 𝑄 такова, что ∠𝐴𝐵𝑄 = ∠𝐶𝐷𝑄 = 90°. Докажите, что окружности, описанные около треугольников 𝐴𝐾𝐵 и 𝐶𝐾𝐷, повторно пересекаются на прямой 𝑃𝑄.

Задача. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 отмечены основания биссектрис из углов 𝐵, 𝐶 — 𝐿𝑏, 𝐿𝑐 соответственно. Пусть 𝑙𝑐 — прямая, являющаяся отражением прямой 𝐴𝐶 относительно 𝐵𝐿𝑏, аналогично определим 𝑙𝑏. Пусть 𝐾 — точка пересечения 𝑙𝑏 и 𝑙𝑐. Точки 𝑂, 𝐼 — центры описанной и вписанной окружностей треугольника 𝐴𝐵𝐶 соответственно. Докажите, что прямые 𝐴𝐾, 𝐿𝑏𝐿𝑐, 𝑂𝐼 пересекаются в одной точке или параллельны.

#Задача
Докажите, что любую обратимую матрицу над замкнутым полем можно представить в виде произведения двух диагонализуемых матриц.

Закончилась летняя школа Л2Ш. Выкладываю мои листики и матбой, который мы составили 9 классам.

Claude Fable построил контрпример к гипотезе Якобиана.

Напомню, что гипотеза о якобиане утверждает следующее. Пусть дано полиномиальное отображение
ℂ^n → ℂ^n,
определитель матрицы Якоби которого является ненулевой константой. Тогда это отображение должно иметь полиномиальное обратное отображение.

https://en.wikipedia.org/wiki/Jacobian_conjecture

Впервые эта гипотеза была сформулирована для случая двух переменных Людвигом Краусом в 1884 году, а затем в полной общности — Отто-Генрихом Келлером в 1939 году. Гипотеза о якобиане занимает 16-е место в списке «Математические задачи следующего столетия», составленном Стивеном Смейлом в 1998 году.

Левент Альпёге — американо-турецкий математик, специалист по теории чисел, диофантовой геометрии и арифметической статистике. Ранее он был Junior Fellow в Harvard Society of Fellows, а затем оставил стандартную академическую карьеру и перешёл в Anthropic, где занимается искусственным интеллектом.
https://alpo.ge/

20 июля Альпёге опубликовал в социальной сети X явный контрпример к гипотезе, который был найден при помощи Claude Fable:

https://x.com/__alpoge__/status/2079028340955197566

Контрпример построен в размерности n=3 и задаётся полиномиальным отображением:
(
(1+xy)^3 z + y^2 (1+xy) (4+3xy) ,
y + 3 x (1+xy)^2 z + 3 x y^2 (4+3xy) ,
2 x - 3 x^2 y - x^3 z
)

Определитель матрицы Якоби этого отображения равен −2. Однако отображение не является инъективным, поскольку его значения совпадают на следующих трёх точках:
(0, 0, -1/4),
(1, -3/2, 13/2),
(-1, 3/2, 13/2).

#разминка
Пусть R - ассоциативное кольцо с 1. Докажите, что если число элементов R является квадртом простого числа, то R коммутативное.

#задача
Пусть V - конечномерное пространство над алгебраически замкнутыми полем.
Опишите с точностью до матричного сопряжения
(a) Нильпотентные операторы, имеющие конечное число инвариантных подпространств.
(б) Пары коммутирующих нильпотентных операторов, имеющих конечное число общих инвариантных подпространств.

В этом году я вёл кружок по геометрии для 9 классов в Л2Ш, поэтому прилагаю файлик со всеми листиками.

Я старался убирать опечатки, но скорее всего они там все еще есть.

#разминка
Покажите, что локальное кольцо не может быть представлено в виде прямого произведения нескольких ненулевых колец.
P.s. под кольцом подразумевается ассоциативное, коммутативное с единицей.

Хорошие задачки по мотивам недавнего экзамена по алгебре в НМУ:
(источник Г. Нидеррайтер, Р. Лидл "Конечные поля")

Красная точка - точка велосипедистов зеленых окружностей (для прямых через оранжевую точку). Тогда красные отрезки равны.

Я это замечательное утверждение не знал, рассказал его мне @AndrewShishko.

Не очень сложная, но, на мой взгляд, красивая теорема.

задача из экзамена! Найдите сумму ряда

Смешное утверждение, если кто-то придумает доказательство без индукции, объясняющее почему так происходит будет здорово.

Есть n видов пар скобок - открывающиеся и закрывающиеся.
Докажите что для любой произвольной скобочной последовательности S минимальное число скобок, нужное чтобы дополнить S(скобки можно вставлять в начало, конец и между уже выписанных скобок) до правильной скобочной последовательности, равно минимальному числу скобок, которое нужно удалить из S чтобы получить правильную скобочную последовательность.

Не очень сложная задача с древней ММО.

На табло горят несколько лампочек. Имеется несколько кнопок. Нажатие на кнопку меняет состояние лампочек, с которыми она соединена. Известно, что для любого набора лампочек найдется кнопка, соединенная с нечетным числом лампочек из этого набора. Докажите, что, нажимая на кнопки, можно погасить все лампочки.

Задача от С. Кузнецова

Верно ли, что в канторовом множестве есть всюду плотное подмножество гомеоморфное Q?