Петербургский геометрический семинар им. А. Д. Александрова

«Динамика кос, ограниченные когомологии и геометрия узлов»
И. Алексеев

13 апреля в 17:00
Наб. р. Фонтанки, 27, ауд. 203

Геометризационная программа Тёрстона естественным образом связывает динамику гомеоморфизмов поверхностей, геометрию трёхмерных многообразий и теорию узлов и зацеплений. В докладе я расскажу, как этот круг идей проявляется в теории кос. Коса естественным образом интерпретируется как класс отображений проколотого диска, а её замыкание задаёт узел или зацепление в трёхмерной сфере. Это приводит к вопросу о том, в какой мере топологию и геометрию замыкания можно восстановить по динамике соответствующей косы.

Я объясню, почему естественными мерами сложности здесь оказываются асимптотические числа переноса действия группы кос на комплексах дуг и кривых. Эти величины отражают глобальную динамическую сложность косы и позволяют получать содержательные выводы о замыкании: признаки нетривиальности, простоты, гиперболичности и жёсткости минимальных кос-представителей, а также нижние оценки для рода Зейферта, числа перекрёстков и гиперболического объёма.

Затем я покажу, как эта геометрическая картина связана с ограниченными когомологиями групп кос. Квазиморфизмы и соответствующие им полунормы дают эффективный инструмент для измерения динамической сложности, формируя мост между алгебраической и геометрической сторонами теории. Этот подход приводит к новым связям между ограниченными когомологиями, динамикой кос и геометрией узлов и зацеплений. Я также упомяну приложения, включая доказательство гипотезы Бигелоу и результаты, описывающие геометрическую слепоту инвариантов конечного типа (Васильева—Гусарова).