Студенческий коллоквиум

«Когда динамика и геометрия совпадают: косы и узлы в программе Тёрстона»
И. Алексеев

26 февраля в 17:30
14 линия В.О., 29, ауд. 201

Геометризационная программа Уильяма Тёрстона связывает в единый сюжет униформизацию поверхностей, динамическую классификацию гомеоморфизмов поверхностей, геометрическую классификацию узлов и зацеплений и, наконец, геометризацию 3‑многообразий. Её главный тезис гласит: сложная топология малых размерностей кодируется хорошими геометрическими структурами. В докладе я расскажу, как этот сюжет проявляется в теории кос и узлов.

По теореме Александера любое зацепление представляется в виде замкнутой косы, а по теореме Маркова сравнение таких представлений сводится к алгебре в группах кос. Сами косы имеют динамическую природу: группа кос изоморфна группе классов гомеоморфизмов диска с проколами. Это приводит к естественному вопросу: можно ли «увидеть» геометрию и топологию зацепления, наблюдая только за динамикой соответствующей косы? В частности, как динамическая классификация кос (периодические, приводимые и псевдо-аносовские) связана с геометрической классификацией зацеплений (торические, сателлитные и гиперболические)?

Ключевым мостом будет действие группы кос на комплексе дуг и кривых. Я объясню, как асимптотическая динамика — через число переноса — отражает тип косы и служит измерителем «динамической сложности». Затем я покажу, как большие значения этого инварианта ведут к жёстким геометрическим выводам о замыкании косы — и как «наиболее интересная динамика» (псевдо-аносовские косы большой сложности) соответствует «наиболее богатой геометрии» (гиперболические зацепления большого объёма).