Группы классов отображений и их подгруппы

Группа классов отображений ориентируемой двумерной поверхности S_g — это факторгруппа Mod(S_g) группы сохраняющих ориентацию гомеоморфизмов поверхности на себя по подгруппе всех гомеоморфизмов, изотопных тождественному. Теория групп классов отображений замечательна тем, что она тесно связана с очень разными областями математики, в числе которых геометрия плоскости Лобачевского, группы кос, теория пространств модулей алгебраических кривых, трёхмерная топология, динамические системы, арифметические группы и многое другое.
В рамках курса я постараюсь сосредоточиться на некоторых комбинаторных и гомологических свойствах групп классов отображений и их подгрупп (важнейшей из которых является подгруппа Торелли I_g, состоящая из всех классов гомеоморфизмов, тривиально действующих на одномерных гомологиях поверхности), а также на их связях с инвариантами Рохлина и Кассона трёхмерных гомологических сфер.

Курс «Пространства Тейхмюллера» выгодно дополняет данный. (Однако не предполагается, что слушатели непременно его изучили.)

Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 28 часов)

Программа
1. Теорема Дена — Нильсена — Бэра о связи группы классов отображений и группы внешних автоморфизмов фундаментальной группы поверхности.
2. Классы Мамфорда — Миллера — Мориты в когомологиях групп классов отображений.
3. Действия групп классов отображений и их подгрупп на клеточных комплексах, имеющих геометрическое происхождение: комплексе кривых, комплексе циклов и т. д.
4. Порождающие групп классов отображений и групп Торелли.
5. Инвариант Рохлина и гомоморфизмы Бирман — Крэггса I_g → Z/2Z.
6. Гомоморфизм Джонсона и строение абелианизации группы Торелли.
7. Ядро гомоморфизма Джонсона и инвариант Кассона, алгебра Кассона — Мориты.

Литература
▪️M. Clay, D. Margalit, eds. Office Hours with a Geometric Group Theorist. Princeton, NJ Oxford: Princeton University Press, 2017.
▪️B. Farb, D. Margalit. A Primer on Mapping Class Groups. Princeton Mathematical Series. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2012.

Пререквизиты
Предполагается, что слушателям курса знакомы понятия фундаментальной группы и группы одномерных гомологий поверхностей и их основные свойства. Также будет полезным (но не обязательным) некоторое предварительное знакомство с геометрией плоскости Лобачевского.