Как приготовить окрошку из кошки? Например, так. Видно, что с каждой итерацией кошка вытягивается в одном направлении и сжимается в другом. В результате получается «окрошка»: со временем доля кошки в любом маленьком квадратике стремится к одному и тому же числу — доле кошки во всём квадрате!
Если склеить противоположные стороны квадрата, получится тор (поверхность бублика). Если рассматривать отображение (x, y) → (2x+y, x+y) не на квадрате, а на торе, получится непрерывное всюду дифференцируемое отображение, которое тем не менее «размазывает» кошку по тору. Это отображение — простейший пример диффеоморфизма Аносова. Общее понятие предложил Д. В. Аносов в середине XX века. Грубо говоря, это гладкое отображение, которое растягивает в одних направлениях и сжимает в других. Про диффеоморфизмы Аносова было сформулировано много гипотез общего характера. Многие из них до сих пор открыты, несмотря на большой интерес, который они вызывают.
Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 3.5 часа)
Программа
1. На первых двух занятиях мы обсудим различные свойства линейного отображения двумерного тора, заданного формулой (x, y) → (2x + y, x + y): устойчивое и неустойчивое направления, перемешивание, транзитивность, плотность периодических орбит. Кроме того, мы построим марковское разбиение, которое позволяет связать этот диффеоморфизм с цепью Маркова. Эта связь позволяет свести доказательство нетривиальных свойств нашего отображения к стандартным фактам университетского курса теории вероятностей (знание этих фактов от слушателей не требуется).
2. На третьем занятии мы дадим общее определение диффеоморфизма Аносова и построим пример диффеоморфизма, действующий на более сложном многообразии, чем просто (многомерный) тор.
3. Последнее занятие будет посвящено открытым вопросам о диффеоморфизмах Аносова и обзору имеющихся результатов.
Пререквизиты
Курс доступен школьникам.
Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка