آیا بین صفحه (R^2) و فضا (R^3) هیچ تابعی وجود ندارد که دوسویی، پیوسته و دارای وارون پیوسته باشد؟!

می‌توان به این سوال به شکل کلی‌تری پاسخ داد. برای هر n بزرگتر از ۲ فضای R^n و صفحه R^2 همئومورف نیستند.

یعنی هیچ تابع پیوسته، یک به یک و پوشا با وارون پیوسته بین آنها وجود ندارد.

دلیل این امر این است که اگر در فضای R^n که n بزرگتر از ۲ هست یک نقطه را از فضا حذف کنیم فضای بدست آمده همبند ساده است ولی در صفحه R^2 چنین نیست.
یعنی با حذف یک نقطه از R^2 فضای بدست آمده دیگر همبند ساده نخواهد بود.

پس R^2 با R^3 و نیز با هیچ R^n به ازای n های بزرگتراز ۲ همئومورف نیست.


اما ممکن است بپرسید فضای همبند ساده چیست؟

در توپولوژی جبری به فضاهای توپولوژیک، یک گروه نسبت میدهند به نام گروه بنیادی و میتوان ثابت کرد که این گروه بنیادی خاصیت تابعگونی(فانکتوری) دارد.
به این معنی که اگر بین دو فضای توپولوژیک یک همومورفیسم موجود باشد، بین گروه‌های بنیادی آنها یک یکریختی موجود خواهد بود.

یک فضای توپولوژیک را همبند ساده مینامیم هر گاه گروه بنیادی آن بدیهی باشد(گروه تک عضوی)

میتوان نشان داد برای n بزرگتر از ۲
گروه بنیادی فضای R^n که یک نقطه از آن برداشته شده گروه بدیهی است (پس این فضا همبند ساده است.)

اما گروه بنیادی فضای R^2 که یک نقطه از آن برداشته شده با گروه جمعی Z یکریخت است.

پس طبق خاصیت تابعگونی گروه بنیادی، این فضاها نمیتوانند همئومورف باشند(چون گروه جمعی Z با گروه بدیهی یکریخت نیست)

پس R^n برای n های بزرگتر از ۲ با R^2 همئومورف نخواهد بود و در نتیجه تابعی پیوسته یک به یک پوشا با وارون پیوسته بین این دو فضا وجود ندارد.

#A1018P
@harmoniclib