🔶قضیه طیفی:

فرض کنید V یک فضای برداری با ضرب داخلی باشد(روی میدان اعداد مختلط)
همچنین T رو یک عملگر نرمال روی V در نظر بگیرید
(عملگر T رو نرمال مینامیم هرگاه
(TT*=T*T

قرار دهید:

r1,...rk
مقادیر ویژه عملگر T

v1،...vk
بردارهای‌ویژه نظیر مقادیرویژه

W1,..,Wk
زیرفضاهای تولید شده توسط بردارهای ویژه

E1,...Ek
تصویر متعامد V روی زیرفضاهای Wi



در این صورت Wi ها بر هم عمودند

و

V=W1+W2+...+Wk (جمع مستقیم)

و

T=r1E1+r2E2+...+rkEk (*)

رابطه * تجزیه طیفی عملگر T نامیده میشود.


🔷توجه کنید که فضای برداری ما میتواند روی اعداد حقیقی هم باشد و در این صورت باید فرض کرد که T یک عملگر هرمیتی است.

🔷توجه کنید که وقتی در جبرخطی از عملگر‌ها سخن میگوییم در واقع از ماتریس‌ها صحبت میکنیم(میدانیم که تناظر یک به یک بین عملگر‌ها و ماتریس‌ها برقراره)
پس تجزیه طیفی رو برای ماتریس‌ها هم داریم.

🔷یکی از کاربردهای جالب قضیه تجزیه طیفی این است که ما میتوانیم توابع مختلف رو روی عملگر‌های قطری شدنی و نرمال(یا ماتریس‌های با این ویژگی) تعریف کنیم(مثلا sin A رو وقتی A ماتریس نرمال و قطری شدنی باشه میتونیم تعریف کنیم)
روش تعریف به صورت زیر است:

فرض کنید f تابعی باشد که دامنه اش شامل مقادیر ویژه عملگر ما باشد(مقادیر f در میدان هستند)
در این صورت تجزیه طیفی T رو مینویسیم (رابطه *)

و تعریف میکنیم
f(T)=f(r1)E1+...+f(rk)Ek

#A1018P
@harmoniclib