Прочитал на MO интересное доказательство того, что R³ не является квадратом топологического пространства.

На пространстве R³×R³ гомеоморфизм f:(x, y) →(y, x) не является композиционным квадратом никакого гомеоморфизма — потому что меняет ориентацию. С другой стороны, для пространства вида Y=X×X гомеоморфизм f:(x, y) →(y, x) на Y×Y является квадратом: если обозначить x=(a, b), y=(c, d) для a, b, c, d из X, то f есть квадрат отображения (a, b, c, d) → (b, c, d, a).