a while - некоторое (неопределенное) время, если правильно понял, какой-то небольшой или средний промежуток времени

for a while - немного, некоторое время, на некоторое время (He should take a break for a while because he is working for a long time - Он должен сделать перерыв на некоторое время, потому что он работает в течение длительного времени)

after a while - через некоторое время (After a while I started feeling better - Через некоторое время мне стало лучше)