Переводов - просто тьма, и почти все они мне показались бесполезные. Но один из них меня зацепил и вот почему.
Открываю я книгу "Антология даосской философии" /В.В.Малявин, Б.Б.Виногродский, и там есть такие слова:
Один из многочисленных возможных вариантов перевода первой фразы таков: «На Пути постоянства и отрицание Пути может быть Путем».
Эта фраза звучала глубже, чем в переводах других авторов, и содержала в себе некий парадокс, противоречие. А 1-й з-н диалектики - это как раз о том, как борьба противоречий приводит к синтезу.
В других переводах этот парадокс становится неочевидным:
Дао, которое может быть выражено словами, не есть постоянное дао.
-- Ян Хин-шун
Что-то знакомое, подумал я. Где-то я уже это слышал. Точно, это же гёделевское ограничение.
Первая теорема о неполноте. В любой достаточно богатой непротиворечивой формальной системе (достаточно богатой -- значит, способной выразить арифметику натуральных чисел) существуют истинные утверждения, которые невозможно ни доказать, ни опровергнуть внутри этой системы. Система неизбежно неполна.
Как он это сделал. Гёдель изобрёл гениальный приём -- гёделевскую нумерацию. Он присвоил каждому символу, каждой формуле, каждому доказательству уникальное число. Тем самым утверждения о числах стали одновременно утверждениями о формулах и доказательствах. Система оказалась способна "говорить о себе". И тогда Гёдель построил утверждение G, которое по сути говорит: "Это утверждение не доказуемо в данной системе". Если G доказуемо -- оно ложно, и система противоречива. Если G недоказуемо -- оно истинно, но не может быть доказано. При условии непротиворечивости системы G оказывается истинным, но недоказуемым. Это напоминает парадокс лжеца ("это предложение ложно"), но формализованный со всей математической строгостью.
Парадокс лжеца -- один из древнейших и самых фундаментальных парадоксов в истории мышления. Он кажется простым, но за две с половиной тысячи лет от него так и не удалось полностью избавиться -- только загнать в угол.
Простейшая форма. Предложение: "Это предложение ложно". Если оно истинно -- то оно говорит правду о себе, значит, оно действительно ложно. Но если оно ложно -- то то, что оно утверждает, неверно, значит, оно не ложно, то есть истинно. Мы попадаем в бесконечный цикл: истинно -> ложно -> истинно -> ложно...
Почему это не просто игра слов. Может показаться, что это курьёз, софизм, не имеющий отношения к серьёзному мышлению. На самом деле парадокс лжеца обнажает глубокую проблему: язык, способный говорить о самом себе, неизбежно порождает противоречия. А ведь естественный язык именно таков -- мы постоянно говорим предложения о предложениях.
Влияние на математику и логику. Парадокс лжеца стоит за несколькими ключевыми событиями в истории формального мышления.
Парадокс Рассела (1901). Бертран Рассел обнаружил аналогичную проблему в теории множеств: множество всех множеств, не содержащих себя в качестве элемента -- содержит ли оно себя? Если да -- то не должно. Если нет -- то должно. Это тот же самореферентный механизм, что в парадоксе лжеца, только в математической формулировке. Парадокс Рассела разрушил наивную теорию множеств и потребовал пересмотра оснований математики.
Теорема Тарского (1933). Альфред Тарский доказал, что понятие истины для достаточно богатого формального языка не может быть определено внутри этого языка. Грубо говоря, язык не может содержать собственный предикат истины без противоречий. Это прямое следствие парадокса лжеца, но доказанное с полной формальной строгостью. Если бы язык мог определить собственную истинность, в нём можно было бы сконструировать предложение "это предложение не истинно" -- и получить противоречие.
Теоремы Гёделя (1931). Как уже упоминалось, Гёдель построил утверждение "это утверждение не доказуемо в данной системе" -- по существу, формализованную версию парадокса лжеца, где "ложно" заменено на "недоказуемо". Замена ключевая: вместо парадокса (противоречия) получается теорема (доказательство неполноты). Гёдель взял разрушительную силу самореференции и превратил её в конструктивный инструмент.
Попытки решения. За века было предложено множество подходов.
Теория типов (Рассел). Запретить самореференцию: предложение не может говорить о предложениях своего же уровня. Язык выстраивается в иерархию уровней, и каждый уровень может говорить об истинности только предложений уровнем ниже. Это работает, но сильно ограничивает выразительность.
Трёхзначная логика (Клини, Лукасевич). Добавить третье значение -- "неопределённо". Парадоксальные предложения не истинны и не ложны, а просто не имеют определённого значения. Проблема в том, что можно сконструировать "усиленного лжеца": "это предложение либо ложно, либо неопределённо" -- и парадокс возвращается.
Ревизионная теория истины (Герцбергер, Гупта). Истинностное значение парадоксального предложения не фиксировано, а колеблется -- как мы интуитивно и ощущаем. Это не баг, а фича: истина для некоторых предложений -- это процесс, а не состояние.
Глубинный смысл. Парадокс лжеца показывает, что самореференция в сочетании с отрицанием порождает неустранимую проблему. Любая система, достаточно мощная, чтобы говорить о себе, оказывается перед выбором: либо допустить противоречия, либо признать свою неполноту, либо ограничить свою выразительность. Выбирай любые два из трёх, но все три вместе получить нельзя.
Это, своего рода, фундаментальный закон мышления о мышлении -- и именно поэтому он всплывает в таких разных контекстах: от древней философии до оснований математики, от теории вычислимости до вопроса о природе сознания.
Руководитель (или архитектор), владеющий диалектикой, способен видеть противоречия и умело использовать их для синтеза решения. Именно об этом пишет Gerald M. Weinberg в The Rule of Three. Весь мир состоит из противоречий - это основная движущая сила его развития. Вопрос лишь в том, способен ли лидер их разглядеть.