Знакомо ли вам это чувство? Вы читаете захватывающее введение в новую теорию, подбираетесь к сути красивой теоремы, и... на вашем пути вырастает стена из лемм, технических определений и многостраничных, запутанных доказательств. Рука сама тянется перелистнуть эти страницы. А потом накатывает чувство вины за пропуск технических деталей. Даёт о себе знать суровое убеждение:
Настоящий математик должен продираться через каждое доказательство, страница за страницей. Иначе это несерьёзно
Но так ли это? С этим мифом спорят многие крупные математики. В своём эссе «О доказательствах и прогрессе в математике» Уильям Тёрстон как раз возражает против такого подхода. Он приводит цитату из работы Джаффа и Куинн:
«Мы, математики, должны доказывать теоремы, отделяя зерна от плевел, правду от вымысла»
Тёрстон считает, что это неполная и даже искажённая картина. Он предлагает сместить акцент. Главный вопрос для математика, по его мнению, звучит так:
Как мы углубляем человеческое понимание математики?
Это отличная точка зрения для тех, кто тянется к знанию! Ведь наше обучение — это путешествие, целью которого является именно понимание, а не просто коллекционирование доказательств.
Когнитивистика и науки об обучении подтверждают:
Пропускать отдельные доказательства при первом знакомстве с теорией не только допустимо, но иногда и необходимо.
Почему?
1. Это помогает удержать фокус на сути. Изначальное понимание общей идеи и интуиции создает «когнитивный каркас», на который потом можно навешивать детали. Без этого каркаса детали превращаются в бессмысленный набор символов
2. Это предотвращает когнитивную перегрузку. Мозг не может усвоить всё и сразу. Пытаясь с первого раза понять каждую техническую лемму, вы рискуете «утонуть» и потерять суть
Как метко заметил Николай Вавилов, «общая когерентность математической картины мира куда важнее доказательств»