Ранее мы разобрали, как работает условная вероятность и формула Байеса.
Если пропустили, то вот сам пост.
Давайте разберем на эту тему популярную задачу, которую спрашиваю во многих компаниях.
Условие: болезнь встречается у 1% людей. Тест находит болезнь у больного в 99% случаев, а у здорового ошибочно кричит «+» в 5% случаев. Вам пришёл положительный результат. Какова вероятность, что вы действительно больны?
Почти все на автомате отвечают «99%». Правильный ответ — 16.7%. Разберём, почему.
1️⃣ Вопрос не тот, на который вы ответили:
В условии дано P(+ | болен) = 99% — «тест сработает, если человек болен».
А спрашивают P(болен | +) — «человек болен, если тест сработал».
Это разные вопросы, и цифры у них разные. Формула Байеса как раз переворачивает условную вероятность с одной стороны на другую.
2️⃣ Считаем по головам — 10 000 человек:
Забудем про проценты и посчитаем живых людей:
• больных: 1% от 10 000 = 100 человек
• здоровых: 9 900 человек
Прогоняем всех через тест:
• из 100 больных тест поймает 99% = 99 человек
• из 9 900 здоровых тест ошибочно испугает 5% = 495 человек
тест + тест − всего
болен 99 1 100
здоров 495 9405 9900
всего 594 9406 10000
Смотрим столбец «тест +»: плюс получили 594 человека, а больны из них только 99.
P(болен | +) = 99 / 594 = 1/6 ≈ 16.7%
3️⃣ Тот же ответ формулой Байеса:
Сначала выпишем всё, что даёт условие — новых чисел дальше не появится:
P(болен) = 0.01 — болезнь у 1% людей
P(здоров) = 0.99 — остальные 99%
P(+ | болен) = 0.99 — тест ловит больного
P(+ | здоров) = 0.05 — ошибка на здоровом
⚠️ Два разных числа выглядят одинаково: 0.99 — это и точность теста, и доля здоровых. Не перепутайте, кто где стоит.
Числитель — только больные с плюсом:
P(болен) × P(+|болен) = 0.01 × 0.99 = 0.0099 → это наши 99 человек
Знаменатель — почему он именно такой
Мы ищем долю: из всех, у кого плюс, сколько по-настоящему больны. Значит внизу должны стоять ВСЕ плюсы, а не только больные — иначе это будет не доля.
А плюс может прийти ровно из двух мест:
• тест поймал больного → 0.01 × 0.99 = 0.0099 → 99 человек
• тест ошибся на здоровом → 0.99 × 0.05 = 0.0495 → 495 человек
Третьего источника нет: человек либо болен, либо здоров, других вариантов не бывает. Поэтому знаменатель — сумма этих двух групп (это и есть формула полной вероятности):
P(+) = 0.0099 + 0.0495 = 0.0594 → 594 человека
Внутри каждой группы мы умножаем по одному правилу: «какая группа по размеру» × «какая доля в ней даёт плюс». Для здоровых это 0.99 × 0.05 — 99% людей здоровы, и 5% из них тест пугает зря.
Делим: 0.0099 / 0.0594 ≈ 0.167 = 16.7%
Ровно те же 99 и 594, что мы посчитали по головам. Формула ничего не выдумывает — она просто записывает подсчёт людей на языке вероятностей.
Итог: 🤩
❤️ Поддержать канал бустами, чтобы у автора появился дополнительный функционал можно - здесь (это бесплатно и доступно с подпиской telegram premium)
❓ Встречали эту задачку на собеседованиях? Пишите в комментариях!
✔️ Подпишитесь на канал, чтобы не пропустить следующие хаки.
🚬 Вопросы, обучение, консультации: Написать в ЛС | mentor.dima-sqlit.ru
@dima_sqlit