Подпространства в ℝ³ за минуту

У линейных подпространств в ℝ³ всего четыре типа — именно их и шутливо показали на меме:

• {0} — только нулевой вектор.
• Прямая через начало: span(d) = { t·d }.
• Плоскость через начало: { p | n·p = 0 } = ker(nᵀ).
• Всё пространство ℝ³.

Как понять, что множество — подпространство:
1) 0 ∈ S
2) Замкнутость по умножению на скаляр: αx ∈ S
3) Замкнутость по сложению: x + y ∈ S

Быстрые примеры:
• z = 0 — подпространство (плоскость через начало).
• z = 1 — уже не подпространство (нет нулевого вектора, нет замкнутости).

Запомнить просто: линейные подпространства всегда проходят через начало координат.