Суммы Римана и интегралы обе преследуют цель вычислить площадь под кривой, но отличаются точностью и методом.
Сумма Римана — это приближение, при котором площадь оценивается как сумма площадей прямоугольников, расположенных под кривой. Ширина каждого прямоугольника определяется разбиением интервала, а высота берётся из значения функции в выбранной точке внутри каждого подинтервала (например, в левой границе, правой границе или середине). При увеличении числа прямоугольников точность приближения возрастает.

Интеграл же представляет собой точное значение площади под кривой и определяется как предел суммы Римана при стремлении числа прямоугольников к бесконечности и их ширины — к нулю.
Иными словами, суммы Римана — это ступени, а определённый интеграл — это конечная цель.