Суть задачи простая: есть
n точек на плоскости. Нужно понять, сколько пар точек могут находиться ровно на расстоянии 1 друг от друга.Долгое время считалось, что почти оптимальный ответ дают конструкции, похожие на квадратную решётку. Модель OpenAI показала, что это неверно.
Она построила бесконечное семейство конфигураций, где таких пар получается заметно больше, чем ожидалось. То есть была опровергнута не мелкая техническая деталь, а известная гипотеза, вокруг которой десятилетиями строились оценки.
Модель связала задачу о точках на плоскости с алгебраической теорией чисел.
В доказательстве используются решётки Минковского (способ превратить числа из алгебраической теории чисел в точки в обычном евклидовом пространстве), элементы нормы один и pro-3 башни числовых полей. Это инструменты из другой части математики, и именно их перенос в геометрию дал результат.
Нога Алон из Принстона отметил, что ответ оказался неожиданным, а применённые методы выглядят элегантно и нетривиально.
При этом доказательство не даёт нового «чисто геометрического» метода, на который многие надеялись. Гипотеза опровергнута, но сама структура задачи стала ещё интереснее.
Задачу сформулировал ИИ, решение сгенерировала внутренняя модель OpenAI, первичная проверка тоже прошла через автоматический ИИ-пайплайн. После этого люди проверили детали, улучшили изложение и довели работу до публикации.
Модель сама нашла неочевидную связь между разными областями математики и получила результат по открытой задаче высокого уровня.
Оригинал: https://openai.com/index/model-disproves-discrete-geometry-conjecture/
@ai_machinelearning_big_data