любое уравнение степени 4 нетрудно привести к виду x^4+px^2+qx+r=0
у каких из уравнений такого вида есть кратные корни?
можно посчитать в sage (или даже на бумажке) дискриминант такого уравнения… тут слагаемых поменьше, но всё равно выглядит страшновато:
-4*p^3*q^2 + 16*p^4*r - 27*q^4 + 144*p*q^2*r - 128*p^2*r^2 + 256*r^3
если в лоб спросить ту же геогебру нарисовать, где в трехмерном пространстве такое выражение обращается в 0, то ничего не получится — лучше действовать не настолько в лоб
можно начать с совсем вырожденных уравнений — у которых есть корень кратности 3: если коэффициент при x^3 нулевой, то сумма всех корней 0, то есть корни должны быть (t,t,t,-3t), а значит, (p,q,r)=(-6t^2,8t^3,-3t^4) — такую кривую нарисовать несложно
а произвольное уравнение с кратным корнем t (и нулевым коэффициентом при x^3) можно записать в виде (x-t)²(x²+2tx+s)
ну уже не раскрывая скобки видно, что выражения для (p,q,r) будут линейными по s, правда? то есть наша поверхность линейчатая (состоит из прямых — а именно, как можно понять, из касательных к описанной выше кривой!)
а если скобки все-таки раскрыть, то с получающимся параметрическим заданием поверхности справится любая геогебра — получается замечательная поверхность “ласточкин хвост”, вот можно на это посмотреть: www.geogebra.org/m/ftjewyex
больше разговоров и много красивых картинок есть на сайте Математических этюдов: etudes.ru/etudes/swallow-tail/