Не планировал еще одного поста так скоро, но пришел Костя Кноп и рассказал забавное:

Как быстро посчитать много знаков числа π, если есть калькулятор с тригонометрическими функциями (но без обратных тригонометрических)? Предлагается такой рецепт: начинаем с грубого приближения π≈3, а дальше делаем пару-тройку итераций x→x+sin(x).

Можно было бы не писать никакой программы — но раз уж тут канал про компьютерные эксперименты:

from mpmath import *
mp.dps = 200

def iterate(approx):
    return approx+sin(approx)

mypi = 3
for k in range(4):
    mypi = iterate(mypi)
    diff = pi-mypi
    print(k+1,":",nstr(mypi,50),
          "diff:",nstr(diff,2))

Кто запустил код — может видеть, что через 4 итерации ошибка уже порядка 10^{-100} (!)

Ну и объяснить это не сложно: за итерацию мы заменяем π+t на π+t-sin(t), а t-sin(t)≈t³/6 — вот и увеличивается за каждую итерацию количество правильных цифр примерно втрое.

Еще можно заметить, что мы недалеко ушли от метода Ньютона (буквально метод Н. для sin(x) — это x→x-tg(x), но рядом с π это примерно то же).

Тему вычисления знаков π и т.п. наверное еще продолжим.

===

Я ничего не понимаю в библиотеках питона, а mpmath — то что сходу нашлось в гугле по моему запросу (чтобы можно было много цифр синуса считать и т.п.).