6.
попробуем еще чуть-чуть продвинуться в подсчетах кривых

в прошлый раз ( https://t.me/compmathweekly/72 ) посчитали количество прямых на гиперповерхности степени 5 в P^4

теперь попробуем посчитать на ней же коники

парадигма та же: объекты с нужными свойствами представляем как нули сечения подходящего расслоения на пространстве всевозможных объектов (это обобщение плана «задаем уравнениями»), тогда количество получается как интеграл класса Черна этого расслоения, и может быть найдено либо при помощи вычислений в кольце когомологий, либо при помощи формулы локализации (а тонкие вопросы трансверсальности сечения, невырожденности решений и т.п. — цинично заметаем под ковер)

каждая коника в P^4 лежит в какой-то плоскости и высекается там квадратным уравнением... то есть пространство C всех коник — это P(Sym^2 E), где E — двойственное¹ тавтологическому трехмерное расслоение на Gr(3,5)=PGr(2,4)

¹ прошу прощения за смену обозначений, но надоело таскать кучу звездочек

уравнение f нашей квинтики задает сечение расслоения Sym^5 E, а условие «данная коника лежит на квинтике» значит, что f [в ограничении на плоскость коники] = (уравнение коники)⋅(что-то кубическое) — т.е. нас интересуют точки, для которых сечение попадает в подрасслоение (Sym^3 E)⊗O(-1) — другими словами, нас интересует старший класс Черна фактора F := Sym^5 E / (Sym^3 E)(-1)

(проверка: dim C=11, т.к. оно расслаивается над 6-мерным грассманианом с 5-мерным слоем; dim F=7⋅6/2-5⋅4/2=11 — размерности сходятся)

осталось реализовать компьютерное вычисление интеграла c_11(F) по C

(
прямолинейно-алгебраическое вычисление вот какое:

пусть x0, x1, x2 — корни Черна E, тогда у Sym^n E корни Черна — это i⋅x0+j⋅x1+k⋅x2 | i+j+k=n

H(C) = H(Gr)[t] / prod(t-x), где t — класс Черна O(1), а произведение берется по корням Ч. для Sym^2 E

нам нужно взять произведение 1+x по корням Ч. для Sym^5 E, разделить на произведение 1+x-t по корням Ч. для Sym^3 E, разложить t в степени 6 и выше по соотношению выше, найти коэффициент при s[2,2,2]⋅t^5

вроде как раз задача для компутера — руками это убьешься считать — но пока не закодил… надеюсь, дальше либо справлюсь, либо посчитаю все-таки по локализации
)