…Очень люблю цитату из интервью Гельфанда, «я считал, что есть две математики — алгебраическая и геометрическая, и что геометрическая математика принципиально “трансцендентна” для алгебраической. (…) Когда я обнаружил, что синус можно записать алгебраически в виде ряда, барьер обрушился, математика стала единой».
В отличие от синуса и косинуса ряд для тангенса на первый взгляд выглядит хаотично:
x+x^3/3+2x^5/15+17x^7/315+…
Оказывается, за этим хаосом скрывается отличная комбинаторика…
сейчас описание комбинаторики опущу, а вместо этого приведу код, при помощи которого на эти коэффициенты можно посмотреть (потому что в лоб на бумажке это делать утомительно):
x = var('x')
taylor = tan(x).taylor(x,0,21)
E = [ taylor.coefficient(x,n)*factorial(n) for n in range(1,22,2) ]
print(E)
если не знаете ответа, то можно подумать про то, как на эти целые числа написать рекурренту, например (тут возможны разные ответы!)
или вот такой листок для курса Е.Смирнова про этот сюжет делал: https://dev.mccme.ru/~merzon/ium-combi/combi20-05-bernoulli.pdf