Все знают, как найти сумму 1+2+…+N. Некоторые помнят формулу для суммы 1²+2²+…+N². А как найти формулу для суммы 4-х, например, степеней?

На выездном семинаре учителей вчера показывал, как искать такие формулы в экселе.

Сделаем табличку для первых нескольких степеней первых нескольких чисел, а также для первых сумм 1^5+…+N^5. Мы надеемся, что для этой суммы есть полиномиальная формула — то есть что колонка сумм линейно выражается через остальные. Чтобы искать (приближенно) линейную зависимость, можно воспользоваться уже знакомой по https://t.me/compmathweekly/20 функцией LINEST.

Получаем (гипотетический) ответ
1^4 + … + N^4 = N^5/5 + N^4/2 + N^3/3 - N/30

Можно добавить еще одну колонку и проверить, что для небольших N эта формула дает правильные ответы. Можно взять бумажку и ручку и доказать всё по индукции.

А можно подумать еще немножко и понять, что так найденный ответ автоматически будет правильным… — писал про это немного в Кванте, см. теорему 1 в https://dev.mccme.ru/~merzon/pscache/bernoulli-howto-pre.pdf (а в конце, кстати, там есть и код на питоне).