e^x = 1+x+x²/2+x³/3!+…

пусть x какое-нибудь конкретное число (на картинке x=20) — какие слагаемые дают основной вклад в сумму?

нетрудно понять, что для e^n самое большое слагаемое — это n^n/n!

дальше слагаемые уменьшаются как минимум в геометрической прогрессии и можно оценить
n^n/n! < e^n < (2n+1) n^n/n!
что дает простое доказательство слабой формы формулы Стирлинга:
(n/e)^n < n! < Cn (n/e)^n

прикольно, что это не так далеко от правильной асимптотики n! ~ C√n (n/e)^n

наверное оценку можно усилить, если понять какой ширины «горб» на картинке (в духе цпт и т.п.), но можно ли сделать это не опираясь на Стирлинга? не продумывал еще

===

нравится, что можно ставить компьютерные эксперименты без всякого программирования — в Экселе получается и доступно, и наглядно

файл в комментариях