Как известно, сфера с g ручками получается из 4g-угольника попарной склейкой сторон. Возьмем (при g >= 2) 4g-угольник в плоскости Лобачевского, у которого отождествленные пары сторон равны по длине, а сумма углов равна 2π. Тогда на склеенной из него поверхности остается гиперболическая метрика; обратно, любую гиперболическую поверхность можно разрезать (по геодезическим отрезкам) на 4g-угольник, вершины которого сойдутся в выбранной на поверхности точке.

Если теперь мы рассмотрим универсальное накрытие поверхности плоскостью Лобачевского, то соответствующий 4g-угольник замостит плоскость своими копиями. Так мы можем изображать гиперболические метрики на поверхности (точки в пространстве Тейхмюллера) при помощи замощений.

Я написал небольшую программу, которая рисует фрагмент случайного такого замощения для g=2, т.е. копиями восьмиугольника. Склеиваемые стороны обозначены одинаковым цветом.

Я существенно опирался на архивные материалы аналогичного (но имевшего больший интерактивный функционал) проекта "The Teichmüller Navigator", созданного в 1993 Deva Van Der Werf под руководством David Ben-Zvi и Paul Burchard - каким-то чудом страница проекта сохранилась до сих пор: http://www.geom.uiuc.edu/apps/teich-nav/report/report.html.

ссылка на github с исходным кодом и инструкциями: https://github.com/mntroshkin/teichmuller-explorer.