здесь уже обсуждалось, что если функция достаточно хорошая, то уравнение f(x)=0 можно быстро приближенно решать при помощи метода Ньютона
если x — приближенное значение корня, то рядом ним график функции недалеко ушел от касательной, поэтому в качестве следующего приближения можно взять пересечения касательной с нулем, т.е. x→x-f(x)/f'(x)
и в некоторой окрестности корня метод Ньютона, если производная в этом корне не равна 0, сходится очень быстро: за итерацию погрешность ~возводится в квадрат
но если посмотреть на это не локально рядом с нулем, а глобально, то картинка становится более сложной
на картинках выше показано, как работает метод Ньютона для нахождения корня уравнения z⁴-1=0 [на комплексной плоскости]
(какой-нибудь код будет в комментариях)
1.
на левой картинке — сколько итераций надо сделать, чтобы подойти к корню ближе чем на 10^{-6}; видно, что обычно действительно достаточно пары итераций — но иногда даже для вроде бы небольших чисел требуются многие десятки итераций
возникает вопрос, так ли хорош метод Ньютона
Грубо говоря, Немировским было показано, что метод Ньютона локально является оптимальным. Под «локально» имеется в виду, что точку старта метода нужно брать достаточно близко к решению. А что будет, если точку старта (начальное приближение) не удастся подобрать достаточно близко к решению? Ведь мы не знаем, где решение. Собственно, в этом же и задача — найти решение! Какой метод будет оптимальным без таких оговорок?
цитата — из статьи А.Гасникова https://zanauku.mipt.ru/2023/01/19/ot-nyutona-do-kovaleva/ (статья популярная, но там есть ссылки и на статьи с подробностями)
2.
на правой картинке — показано, к какому из комплексных корней сходится метод Ньютона, стартующий в данной точке
получается пример невозможной, казалось бы, ситуации: такие 4 области плоскости, что любая точка границы одной из них лежит на границе всех 4 («в любой точке границы граничат сразу 4 страны»)
видно, что бывает затруднительно предсказать, к какому из корней сойдется метод Ньютона (рядом с общей границей множеств возникает фрактальная структура из анклавов-внутри анклавов-внутри анклавов…)
мне кажется, впервые узнал про такое (как и про многое другое в математике) из рассказов Вити Клепцына — спасибо ему
***
ну или можно никаких объяснений не читать, просто посмотреть на красивые картинки… еще больше картинок у 3Blue1Brown: https://youtu.be/-RdOwhmqP5s