суммы косинусов и кубические уравнения

сегодня кода не будет, а будет математический комментарий к предыдущему посту (и не совсем популярный, сорри)

1.
напомню для начала квадратичный случай

пусть P простое число… и пускай вида 4k+1

квадратичная сумма Гаусса — это способ выразить √P через корни степени P из единицы с разными знаками (если показатель степени — квадратичный вычет mod P, то берем знак +1, для невычета — -1)

можно записать его в виде ∑cos(n² 2π/P)=√P

(например, для p=5: cos(2π/5)=(√5-1)/4, а вся сумма состоит из 4 равных косинусов и единицы)

2.
пускай теперь P=3k+1, а нас интересует тригонометрическая сумма G=∑cos(n³ 2π/P)

Галуа говорит нам, что G — корень кубического уравнения с рациональными коэффициентами, но какого конкретно?

полезно начать не с суммы G, а с кубической суммы Гаусса g

определяется она аналогично квадратичному случаю, но знак +1 теперь получают степени, являющиеся кубическими вычетами, еще два класса — знаки ω и ω² (ω — комплексный кубический корень из единицы)

(другими словами, g — линейная комбинация трех корней искомого уравнения, на которой группа Галуа действует просто умножением на ω)

снова |g|=√P, но теперь что-то хорошее получается при возведении не в квадрат, а в куб: g³=PП, где ПП' — разложение p на простые в Z[ω], а штрих обозначает комплексное сопряжение

3.
вернемся к тригонометрической сумме

G=g+g', поэтому (пользуясь описанными выше свойствами g)

G³=g³+g'³+3gg'(g+g')=P(П+П')+3PG,

т.е. G корень кубического уравнения x³-3Px-AP, где A=2ReП

чтобы получить уравнение буквально на суммы, которые рассматривались в предыдущем посте, нужно еще сделать замену x=-3t+1

4.
если хочется вычислить A без использования арифметики в Z[ω], то можно воспользоваться тем, что если P=ПП' в Z[ω], A=2ReП, то

4P=A²+27B²

такое представление единственно… с точностью до знаков; “наше” A — это то, которое дает остаткок 1 mod 3 (это вопрос про знак гауссовой суммы, который выше был заметен под ковер… там пусть и остается)

можно описать A и по-другому: количество решений по модулю P уравнения X³+Y³=1 равно P-2+A

5.
дискриминант уравнения x³-3Px-AP=0 как раз равен (27PB)²

вообще через корни из единицы (или, если угодно, через триг. функции рац. аргумента) можно выразить решения тех и только тех неприводимых кубических уравнений с рациональными коэффициентами, у которых дискриминант является полным квадратом (аналог для произвольной степени: группа Галуа должна быть абелевой)

уравнение x³=P, например, не подходит, а вот наше — вполне себе

надеюсь, что в написанном выше можно уже увидеть контуры рецепта для решения «в косинусах» произвольного кубического уравнения с квадратным дискриминантом

6.
если P=9m²-3m+1, то 4P=(3m-2)²+27m². В этом случае свободный член уравнения на триг. суммы является полным кубом (числа m, собственно) и формула Рамануджана для суммы кубических корней из корней уравнения дает особенно простой ответ:

2S³ = 3³√(mP)-6m+1

например, для P=73 имеем m=3 и ответ ³√((3³√219-17)/2); для P=31 имеем m=-2 и опечатку в заметке в Мат. просвещении