по этому поводу не мог не поставить мини-эксперимент
будем считать сумму двоичных (для вычислительной эффективности) цифр степеней… ну хотя бы 3 — что можно ожидать увидеть?
ну если так грубо, то n log₂3 цифр числа 3ⁿ довольно случайные, так что единиц среди них должна быть примерно половина
вот какие-то колебания рядом с cn для c = (log₂3)/2 мы и видим на графике
import matplotlib.pyplot as plt
from math import log
ns = range(3_000)
xs = [pow(3,n) for n in ns]
ans = [x.bit_count() for x in xs]
c = log(3)/(2*log(2))
appr = [n*c for n in ns]
plt.plot(ns,ans)
plt.plot(ns,appr)
plt.title(r'2-digit sums of $3^n$')
plt.tight_layout()
plt.show()