продолжу нерегулярные записки про компьютерные эксперименты вокруг разговоров со школьниками

обсуждали вчера функцию y=n²x(1-x)ⁿ на отрезке [0;1]

вот как она выглядит для (умерено) большого n

контрольные вопросы: в какой точке максимум? чему он равен? что с ним происходит при больших n?

ясно, что для любого конкретного x с ростом n значение в точке x стремится к нулю — но при этом уже из ответов на вопросы выше видно, что интеграл к нулю не стремится

всё самое интересное происходит всё ближе и ближе к нулю… чтобы это рассмотреть, можно сделать гиперболический поворот (x,y)→(xc,y/c) (площади он не меняет!) — вот можно поиграть с этим: https://www.geogebra.org/m/ytevq2sa

если не хватает интуиции, на сколько именно “поворачивать” (перемасштабировать), то вдохновляться можно ответами на контрольные вопросы