как оценить p(n), количество разбиений числа n в сумму слагаемых (без учета порядка)?

буквально для p(n) явную формулу придумать не получается, но всё сильно упрощается, если наложить дополнительное ограничение «максимальное слагаемое не больше k»

легко сообразить, например, что p₁(n)=1, p₂(n)≈n/2, а чуть напрягшись можно получить и p₃(n)≈n²/12+…

вообще pₖ(n) — это количество целых точек в (k-1)-мерном симплексе x₁+2x₂+…+kxₖ=n — а значит, при больших n это примерно объем этого симплекса, т.е. типа n^{k-1}/{(k-1)!k!} (можно думать, что один факториал берется из формулы объема многомерного симплекса и еще один из произведения сторон, т.е. коэффициентов в уравнении)

левая картинка иллюстрирует, что если n растет, а k фиксировано, то довольно быстро pₖ(n) перестает быть адекватным приближением для p(n) — которое растет, как мы уже видели, быстрее любого полинома (см. тж. https://t.me/compmathweekly/40 и комментарии там)

всё же можно прикинуть, что раз сторона квадрата площади n равна √n, запрещать слагаемым быть сильно больше √n не должно особо сильно влиять на ответ — и с этим неплохо согласуется правый график

если воспользоваться оценкой типа Стирлинга √n! ~~ (√n/e)^√n, то в прикидке p(n)~~p_{√n}(n) вещи типа n^n сокращаются и остается эвристика p(n)~~exp(2с√n)

и это совсем недалеко от правильной асимптотики p(n)~exp(2с√n)/{4√3n}, где c²=1+1/2²+1/3²+…=π²/6