автоматизация происходила за счет того, что разные операции переопределялись так, чтобы допускать не только вещественные, но и дуальные аргументы
в новом Кванте (№11-12 за 2025 год) увидел статью В.Овсиенко¹, где похожий механизм позволяет разным классическим последовательностям отбрасывать интересные тени
например. возьмем классическую последовательность чисел Каталана 1, 1, 2, 5, 14… (они считают скобочные структуры, бинарные деревья и проч.). она задается рекуррентой
c[n+1] = sum(c[i]*c[n-i] for i in range(n+1)) — вот сохраним ту же рекурренту, но начальное условие продеформируем в [1, 1+ε]. вещественная часть от этого не поменяется, а вот коэффициенты при ε дадут «тень», представляющую собой…ну не буду пока признаваться — но можно до эксперимента прикинуть: производящая функция будет почти такая же, только аргумент на что-то такое ε-образное сдвинется… и появится, как обсуждалось в прошлый раз, производная…
***
было приятно, что для компьютерного эксперимента не потребовалось примерно ничего:
from my_dual import eps
cat = [1, 1+eps]
for n in range(1,10):
cat.append( sum(cat[i]*cat[n-i] for i in range(n+1)) )
print(*cat)
модуль my_dual взял от упомянутого предыдущего развлечения, положу тж подходящую версию в комментарии
***
другой пример. какую тень отбрасывает последовательность 1, 2, 3, 4, 5..? если взять рекурренту
a[n+1]=a[n]+1, то ничего интересного видно не будет — но это, учит В.О., потому что рекуррента выбрана неправильно. а правильно — a[n+1]*a[n-1] = a[n]*a[n]−1 — тогда начальное условие [1,2+ε] дает нетривиальную тень…выбор рекурренты тут может показаться несколько странным, но можно думать про это как про «детскую версию» последовательности Сомоса — рекуррент в духе
a[n+2]*a[n-2] = a[n+1]*a[n-1]+a[n]*a[n], описывающих в т.ч. последовательность nP точек на эллиптической кривойпро последовательности Сомоса уже не понимаю, но можно послушать рассказы А.Устинова на ЛШСМ — mathnet.ru/present39762 (и далее по ссылкам)
¹ (upd) https://www.kvant.digital/issues/2025/11-12/ovsienko-posledovatelnosti-teni_ot_fibonachchi_k_markovu_i_obratno-d5ddf696/