кратко объясню, как определение факториала выше связано с Г-интегралом
∫ t^s exp(-t) dt (от 0 до ∞)
пользуясь тем, что exp(-t) = lim(1-t/N)^N можно (опущу технические детали типа перестановки пределов) переписать этот интеграл как
lim ∫ t^s (1-t/N)^N dt (от 0 до N)
а переходя к переменной x=t/N мы получаем
lim N^s ∫ x^s (1-x)^N N dx (от 0 до 1) =¹
lim N^s / (N+s|N)
т.е. s! в смысле предыдущего определения
¹ то, что такой B-интеграл равен обратному биномиальному коэффициенту, легко доказать N-кратным интегрированием по частям
(заодно теперь видно, что в (1/2)! не обойтись без π: B-интеграл ∫ x^(1/2) (1-x)^(1/2) dx буквально считает площадь под полуокружностью… кстати, «именно это» π, из (1/2)! можно видеть в формуле Стирлинга)
***
интегралы легко приближенно считать даже в экселе — можно написать формулу типа
=LET(x,SEQUENCE($B2)*$A2,
SUM(POWER(x,C$1)*EXP(-x)*$A2))(считая, что в клетке A2 записана длина шага, в клетке B2 количество шагов, в клетке C1 — число s)
ну конечно вычислительно это малоудачно: для погрешности ~1/N нужны шаги ~1/N в количестве, соответственно, ~N — и больше 5 цифр после запятой уже малодоступны экселю (если не переходить к методам численного интегрирования поумнее)
