(продолжая предыдущее)

положим φ(q)=(1-q)(1-q²)(1-q³)…

если раскрыть все скобки, то чудесным образом почти всё сокращается (про это и говорит упоминаемая выше пентагональная теорема Эйлера) — это можно видеть в первой строчке таблицы

и что получается при раскрытии скобок для φ³, тоже хорошо видно (и это, как и пентагональную теорему Эйлера, несложно вывести из тождества тройного произведения Якоби)

дальше жизнь усложняется, но кое-что еще заметить можно

скажем, для 8-й степени
коэффициенты при q^{4k+3} сразу обращаются в ноль, а коэффициенты при q^{4k+1} делятся на 8, причем если разделить, то получится последовательность -1, 8, -20, 0, 70, -64, -56, 0, 125, которую мы уже видели… (понятно где, да?)

серьезные люди уже давно бы изучили модулярные формы (и если хотите написать комментарий с этой т.з., то не стесняйтесь, пожалуйста), но я пока продолжу играть в ненаучную нумерологию…