Когда я учился в (достаточно сильной) физико-математической школе, нам на последней лекции по алгебре в 10 классе пришёл студент и начал вкратце пробегаться по основным определениям высшей алгебры, в частности, дал определение матрицы и определил сложение и умножение. Мне тогда оба эти определения (второе в большей степени) показались какими-то странными и немотивированными, но со временем я стал всё больше поражаться тому, как почти во всех учебных пособиях по высшей математике вводятся матрицы - просто начиная с сухих определений, практически без мотивировок.

Представьте себе следующие определения в курсе школьной алгебры.

Парой чисел называется запись (m, n), где m, n - числа.

1. Назовём две пары целых чисел (a, b), (c, d) эквивалентными по Евклиду, если b != 0, d != 0 и ad = bc.

Определим для двух пар целых чисел (a, b) и (c, d) таких, что b != 0 и d != 0, сложение по Евклиду: (a, b) + (c, d) = (ad + bc, bd) и умножение по Евклиду: (a, b)(c, d) = (ac, bd). По традиции принято записывать такую пару как a/b.

2. Определим для пар произвольных вещественных чисел сложение по Эйлеру: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) и умножение по Эйлеру: (a, b)(c, d) = (ac - bd, ad + bc). По традиции принято записывать такую пару в таком контексте как a + bi.

3. Назовём строчкой произвольную последовательность чисел (a_0, a_1, ..., a_n), в которой последнее число не равно нулю. Назовём степенью строчки её длину, уменьшенную на единицу.

Суммой двух строчек одинаковой длины назовём строчку, полученную почленным сложением каждого из слагаемых, и удалением в конце нулей, если нужно. Суммой двух строчек разной длины назовём строчку, полученную сложением более длинной строчки с более короткой, в конце которой дописаны нули, чтобы дополнить её по длине до длинной строчки.

Произведением двух строчек a и b степеней соответственно m и n, где m > n, назовём строчку длины m + n со следующим правилом образования членов:
(ab)_i =
— a_0 * b_i + a_1 * b_{i-1} + ... + a_i * b_0, если i <= n;
— a_{i–n} * b_n + a_{i–n+1} * b_{n-1} + ... + a_i * b_0, если n < i <= m;
— a_{i–n} * b_n + a_{i–n+1} * b_{n-1} + ... + a_m * b_{i–m}, если m < i <= m + n.

Легко ли угадать, что за темы предлагается объяснять таким образом?

1. Дроби
2. Комплексные числа
3. Многочлены от одной переменной

Будет ли хорошей идеей рассказывать эти темы школьникам именно в таком виде? А ведь сложение и умножение матриц в вузах вводится именно так, причём с первых же лекций вчерашним школьникам.

Кто-то скажет, что как раз в вузах так объяснять вполне приемлемо, ведь туда всё же пришли уже мотивированные люди. На самом деле и дроби вводить в вузе таким образом вполне приемлемо, и так и делают в теории коммутативных колец, когда по области целостности строят её поле частных; но как раз тем, кто до этого дошёл, так можно объяснять потому, что они уже видели этот сюжет два раза — при построении обычных дробей из целых чисел и при построении алгебраических дробей из многочленов. С матрицами никакого такого образа нет даже близко.

Но его как раз можно сначала создать, причём так, что понятно будет даже школьникам — просто нужно вовремя вбросить нужный образ, а именно образ растяжения-сжатия пространства.
Представим себе журавлика, нарисованного по координатам — каждой вершине соответствует две координаты, как ряд и место в зрительном зале. А теперь попробуем каждую горизонтальную координату увеличить в 2 раза, или уменьшить в 2 раза, или каждую вертикальную координату увеличить в 2 раза, или у каждой вертикальной координаты поменять знак на противоположный, или к горизонтальной координате прибавить вертикальную. Что получится?
Получатся растяжение, сжатие, отражение, скос.

А теперь попробуйте применить произвольное преобразование вида x' = ax + by, y' = cx + dy.

А теперь попробуйте провести сначала одно преобразование, а потом другое. Что получится, если свести их в одно?
Что будет, если переменных три?
Теперь гораздо яснее видно, откуда берётся правило умножения матриц, не правда ли?