У довольно многих теорем плоской геометрии (теорема синусов, теорема косинусов, теорема Менелая) есть сферические аналоги, где длинам сторон соответствуют либо синусы соответствующих дуг, либо хорды (как, например, в теореме Птолемея). Какие-то из этих аналогов тривиальны, какие-то доказываются центральной проекцией или с помощью сферической тригонометрии; какие-то тривиальны, какие-то были известны ещё в поздней античности и на арабском Востоке, но в любом случае все они доказываются с помощью достаточно прямолинейных элементарных соображений, поскольку всё равно достаточно вложить всю конструкцию в трёхмерное пространство.

Но у этих теорем есть и аналоги в геометрии Лобачевского, причём во всех случаях длинам отрезков соответствуют их гиперболические синусы, а косинусам дуг соответствуют их гиперболические косинусы! Дело в том, что когда видишь эти теоремы, кажется, как будто их магически перенесли с одной геометрии на другую, заменив обычные синусы и косинусы на гиперболические, когда речь идёт о дугах, и начинаешь сильно сомневаться, можно ли доказать это более строго, опираясь, например, на модель на одной из полостей двуполостного гиперболоида? Это сделать можно, но видно, что это не так просто сделать без привлечения особых вариантов скалярного и векторного произведений; но самое обидное, что теряется очевидная связь со сферическим случаем.

И тем не менее идея переноса явлений с одного пространства на другое в итоге нашла своё строгое обоснование в нестандартном анализе Робинсона. Дело в том, что поскольку любой вывод использует лишь конечное число шагов, любая система аксиом, в которой любое конечная подсистема непротиворечива, сама непротиворечива; это приводит к тому, что мы можем взять просто все утверждения, верные для множества действительных чисел, и добавить к ним константу, которая больше любого натурального числа (счётное число утверждений c > n). Ясно, что любое конечное подсемейство непротиворечиво (в качестве c можно взять N + 1, где N — максимальное n из встречающихся в подсистеме утверждений вида c > n), поэтому непротиворечиво и всё семейство; поэтому для любой функции имеется её нестандартный бесконечный аналог.

Но это уже логически завершённый и проработанный перенос; а первый существенный шаг в сторону таких идей был сделан на 100 лет раньше, как раз в геометрии Лобачевского.