Перед вами ваш старый знакомец Робинзон Крузо, оптимизирующий производство и потребление на бесконечном горизонте с дисконтированием по экспоненте. Сегодня вы его увидите таким, каким никогда не видели. Более того, я уверен, что вы даже не согласитесь между собой, а как именно на этого Робинзона смотреть.
В своих базовых параметрах, это один из самых простых Робинзонов, из тех что вы видели. В принципе вы можете выбрать следующие функциональные формы сами, но положим у него есть бюджет времени в единицу, и он получает полезность в периоде ln(l) + ln(q), где q это потребление, а l это доля времени посвященная досугу. Производит он 1 - l - c, где с это некая фиксированная издержка, она больше чем 0.27, но меньше единицы.
Продукты труда Робинзона сами по себе скоропортящиеся, не переносятся с периода на период. (Если вы захотите решать в протяженном времени, а не дискретном, это тоже можно). Но у нашего очень простого Робинзона есть очень хитрое устройство — короб, почти как в фильме Primer, переносящий свое содержимое во времени. В любой период Робинзон может положить или забрать из короба столько, сколько ему угодно. Его единственное ограничение это то, что за весь горизонт в короб должно быть положено не меньше, чем из него забрано. Робинзон может, к примеру, прямо сегодня потребить всё, что когда-либо произведет (конечно, с его функцией полезности он не станет этого делать). Короб принимает и выдает продукты труда не один к одному, а с "уценкой" будущего к прошлому, причем уценка за каждый период равна ровно дисконту Робинзона. Другими словами, если Робинзон сегодня положит в короб единицу, то завтра он сможет съесть 1 / 𝛅, и наоборот короб выдаст Робинзону единицу только если завтра Робинзон туда положит не менее 1 / 𝛅*.
У Робинзона есть фиксированные издержки. Вовсе избегая работы некоторые дни, он теоретически может улучшить свою позицию, положившись при помощи короба на взятие продуктов из другого периода. Сколько Робинзон будет работать в те дни, что работает? Сколько дней он будет вовсе отдыхать и какие дни?**
Если хотите совсем повеселиться, рассмотрите короб, который период от периода неожиданно для Робинзона объявляет, что сегодняшние продукты труда будут чуть дороже или чуть дешевле обычного. В среднем все также. Для этого варианта, постройте что-то из того что можно построить в качестве ответа общепринятыми инструментами современной экономики.
Пишите ответы с тегом в своих каналах или в личку. Мне реально интересно как вы вообще подступитесь. Потом расскажу зачем это все.
*На всякий случай, вот спецификация всех уравнений в одной возможной функциональной форме, целевой параметр к максимизации U и ограничение BC:
∞
U = ∑ δᵗ(ln(lₜ) + ln(qₜ))
t=0
∞ ∞
BC: ∑ δᵗqₜ ≤ ∑ δᵗ(1 - lₜ - c)
t=0 t=0
**Небольшое предвосхищение пути, который может быть интересно пройти самому:
В первый подход, применив то что обычно в учебниках предлагают в как будто похожих ситуациях, вы можете получить, что никакие дни Робинзон не отдыхает полностью, а каждый день посвящает работе некоторую стабильную долю своего бюджета. Если так, вы можете первым делом легко убедиться, что найденный полагаемый оптимум не настоящий, сравнив свое решение с девиацией, где Робинзон отдыхает один период (скажем первый), а все остальные выплачивает согласно оптимальному расписанию.