Это задача из листочка по топологии-1, которую всем хочется решить в терминах количества компонент связности края. Но чтобы определить край, необходимо показать, что R^n и замкнутое полупространство R^n_+ негомеоморфны для n = 2.
При n = 1 это очевидно по аргументу через выкидывание точки и связность. Но чтобы мерить дырки коразмерности больше 1, нужна алгебраическая топология. Связанные утверждения:
- негомеоморфность R^n и R^m (теорема об инвариантности размерности)
- вложенная замкнутая кривая на плоскости разбивает её на две компоненты связности, а незамкнутая не разбивает (теорема Жордана)
визуально очевидны, но являются классическими следствиями теории сингулярных гомологий (впрочем, у Жордана есть историческое элементарное доказательство, которое ещё хуже).
Неочевидность визуально очевидных утверждений говорит о том, что непрерывные функции — более дикое понятие, чем наши геометрические ожидания. Поэтому их тяжело контролировать и, в частности, строить инварианты, различающие пространства.
The foundations of topology are inadequate is manifest in the form of false problems [..., which] include the existence of wild phenomena (space-filling curves, etc.) that add complications which are not essential
(с) Grothendieck
Я пришел к этим мыслям где-то в 2021, в том числе (помимо уже сказанного) спровоцированный долгими размышлениями об исправлении того факта, что все непрерывные вложения S^1 в R^3 изотопны (в смысле связаны путем в пространстве непрерывных вложений), то есть, что все узлы развязываются. Просто скиньте весь узел на окружности в маленький шарик (выпрямив остальное) и сжимайте его пока он не станет точкой (so-called bachelor' unknotting).
Хуже уже не будет? Ну... если только вам не попался дикий узел... для которых (в отличие от реализумых конечными ломанными) изотопность тривиальному это известная открытая проблема.
Тогда я действительно полюбил дифференциальную геометрию, внезапно исправляющую одновременно всё.
1. В современной парадигме геометрии, вдохновленной Гротендиком, (с гладкими локусами и пучками на них) понятие гладкого пространства примарно и достаточно обще, чтобы не ограничиваться многообразиями и выступать как полноценная основа в топологии, теории гомотопий, геометрии и анализе.
(в то время как в алгебраической геометрии мы просто повторяем тот же паттерн с аффинными схемами как по определению дуальными к коммутативным кольцам, также не нуждаясь в подлежащем понятии топологического пространства).
2. R^n и R^m не изоморфны, потому что касательные пространства имеют разную размерность как векторные.
3. Как следствия теоремы Сарда
- Не существует сюръективных отображений M -> N для dim M < dim N (в частности, тех самых кривых заполняющих пространство)
- Теорема Жордана
4. Внутренняя точка определяется как та, в которой все касательные векторы могут быть продолжены проходящими через них кривыми (-eps, eps) -> M. В точках границы продолжимые векторы образуют собственное подпространство (касательных к границе dM \subman M), а его дополнение распадается на компоненты связности векторов, направленных внутрь и наружу (определенных как те, что продолжаются путями [0, eps) и (-eps, 0] соответственно).
Все это элементарно и непосредственно отвечает геометрической интуиции.
5. Компоненты связности пространства гладких вложений Emb(S^1, R^3) — это узлы. Для непрерывности пути в Emb, сходиться должна не только функция, но и все её производные, которые при сжатии взрываются. Поэтому пространство гладких вложений справедливо называют пространством узлов. И всякий гладкий узел изотопен узлу реализованному конечной (сглаженной) ломанной (нет диких вложений).
6. Все интересное, как правило, (кусочно) гладкое и в то же время пучки на локусах достаточно общи, чтобы красиво говорить о всяких негладких броуновских движениях, аттракторах и т.д.