大肥鱼 枢元 等式html动画
哲学层

相等是分层的，同一性是相对于参照系的。等号是同一性的结构投影；同一性是未投影的等号。投影产生等价类，等号断言等价类同一。投影、观察、抽象会抹去差异；相等是同一在投影下的影子；而选择这种投影方式的代价，就是“品味”。

数学层

设 \pi:A\twoheadrightarrow A/\!\sim 为商投影，满足 a\sim b\iff\pi(a)=\pi(b)。原集对角线 \Delta_A=\{(a,a)\} 是严格同一；商集对角线 \Delta_{A/\!\sim}=\{(q,q)\} 才是商层面的 = 本身；原集上的 R_\pi:=(\pi\times\pi)^{-1}(\Delta_{A/\!\sim})=\{(a,b)\mid\pi(a)=\pi(b)\} 是 = 的拉回，即投影后相等。三者关系为：\Delta_A\subseteq R_\pi，且 \Delta_A=R_\pi 当且仅当 \pi 单射；若 \pi 满射，则 (\pi\times\pi)(R_\pi)=\Delta_{A/\!\sim}。

群版与模版

群短正合列 1\to K\hookrightarrow A\xrightarrow{\pi}A/K\to1 中，K=\ker\pi，R_\pi=\{(a,b)\mid a^{-1}b\in K\}，\Delta_A=R_\pi\iff K=\{e\}。模短正合列 0\to K\hookrightarrow A\xrightarrow{\pi}A/K\to0 中，R_\pi=\{(a,b)\mid a-b\in K\}，\Delta_A=R_\pi\iff K=\{0\}。

品味项

\pi^\ast=\arg\min_\pi[H(A\mid\pi(A))-\lambda U(\pi)]，为建模定义，非定理。

最终核心

商集上的 \Delta_{A/\!\sim} 是 = 本身；原集上的 R_\pi 是 = 的拉回；\Delta_A=R_\pi\iff\pi 单射。故：等号在商层面是自身，在原层面是同一性经 \pi 的拉回。相等是分层的；同一性相对于参照系；等号是同一性的结构投影。

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