В курсе "Основы байесовского вывода" сегодня лекция про один развёрнутый пример, на мой взгляд, интересный и изрядно неожиданный:

СПбГУ — 2025.09.23 — Байесовский вывод для гауссиана
(слайды, доска и код на странице курса)

Мы уже много раз говорили в курсе о гауссианах, в основном в контексте линейной регрессии. И всё, что мы обсуждали, сводилось к тому, что что с гауссианами ни делай, получаются опять гауссианы. Можно их перемножать, маргинализовать, делать свёртку двух гауссианов, всё равно сумма многочленов второй степени останется многочленом второй степени. Байесовский вывод в линейной регрессии приводит к тому, что наша уверенность в (точечном) ответе уменьшается; но это уменьшение — это увеличение дисперсии в предсказательном распределении, а оно всё равно остаётся гауссианом.

И вот в этом примере оказывается, что не остаётся! Для этого, конечно, пришлось к гауссиану подмешать гамма-распределение как априорное для параметра τ (precision, величина, обратная дисперсии), но как иначе, это же как минимум положительная величина. Выясняется, что если маргинализовать апостериорное распределение по τ, то есть проинтегрировать по τ и оставить только μ, то его апостериорное распределение уже вовсе не будет гауссианом, а будет... распределением Стьюдента! Это, по-моему, очень интересный результат: не просто дисперсия увеличивается при байесовском выводе, а буквально меняется форма распределения; затухающий экспоненциально гауссиан превращается в распределение с тяжёлыми, полиномиальными хвостами. И это очень легко проверить на практике, мы это в численном примере на лекции увидели.

Кстати, здесь есть интересная историческая деталь: распределение Стьюдента начал рассматривать вовсе не Уильям Госсет, а совсем другие люди лет на двадцать раньше. Ещё в 1870-х годах немецкие математики Фридрих Хельмерт и Якоб Люрот занимались байесовским выводом и получили распределение Стьюдента именно как предсказательное распределение для гауссиана. Везде байесианисты!)