Что же значит имя Дзауг/Дзауаг? Честно сказать, я не знаю. Этимология Абаева (на скрине внизу) мне кажется сомнительной. Всё-таки причастной формой от «цæуын» является «цæуæг». В «дзæуæг» же она превращается только в составных словах.

Можно предположить, что перед нами сокращение от имени Завгар (не путать с осет. «дзæвгар»). Это тюркская форма иранского имени Джаухар/Джавгар*. Такие сокращения на Кавказе не являются редкостью. Например, слово «кашпот» — ироничное название осетин у ингушей — происходит от восточно-осетинского звучания сокращения имени Касполат/Казбулат/Хасбулат (от араб. перс. Hasbulat (‘особая сталь’). Тем не менее, мне самому моё же предположение о корнях имени Дзауг кажется сомнительным.
____
*«Персидское слово гохар (гавхар) — „драгоценный камень, самоцвет“ привело к возникновению армянского женского имени Гоар, но проникши в арабский, образовало там джавхар — „самоцвет“. На бытовом уровне обращает на себя внимание персидское гавхар — „драгоценный камень“, которое, перейдя в арабское джавхар с тем же значением, создало помимо нарицательных на русской и английской почве собственные имена: индийское Джавахарлал, чеченское Джохар, армянское Гоар» (Теодор Шумовский).