Зачем мне эта математика

Вчерашняя задача была совсем простой, но мы в редакции видим в ней свою красоту 🧩

Дело в том, что есть стандартное решение «в лоб» — через введение неизвестной, к которому приходят все, кто берётся за задачу. Но есть и другое — буквально в одну строчку.

Вы, конечно, вчера в комментах привели оба решения. Оставляем их здесь для тех, кто любит решать без спойлеров:

ㅤ
✅ ㅤㅤРешение №1
ㅤ

Объём воды до переворота равен:
4 × 2 × 0,25 = 2.

После переворота значение объёма воды не изменилось. Если обозначить толщину слоя за x, получаем:
1 × 2 × x = 2,

откуда следует, что x = 1.

ㅤ
✅ Решение №2
ㅤ

Заметим, что объём воды в аквариуме в исходном положении составляет ровно четверть. Значит, и после переворота он займёт ту же четверть.

Длина всей стороны — 4 м, а значит, толщина воды — 1 м.

Вот такое дружеское напоминание о том, что не всегда нужно усложнять. Берегите голову от лишних вычислений и отдыхайте. С праздником!

🔄Решить задачу посложнее🔄

#задача

Дорогие подписчики, надеемся, вы отлично проводите праздничные дни ❤️

Грузить сложными вопросами сегодня не будем — предлагаем решить простую и быструю задачу.

🔸Условие: в закрытый аквариум размером 1×2×4 метра налили 25-сантиметровый слой воды — как на рисунке слева. После этого аквариум повернули так, что прямоугольник 1×2 метра стал его основанием — как на рисунке справа.

🔸Вопрос: чему теперь равна толщина слоя воды в нём?

🔸Подсказка: не торопитесь вводить неизвестную.

По традиции ждём ответы под спойлером в комментариях, а решение опубликуем завтра.

#задача

Оливер Бирн доказал всему миру, что строгую геометрию можно превратить в приятный глазу визуал, если подойти к задаче по-дизайнерски.

А мы знаем целое сообщество людей, которое делает это профессионально! Нашли мы его, кстати, через ещё одну работу, вдохновлённую бирновскими «Началами».

🔗 Канал Data-comics

Его ведёт Наталья Киселёва. Она работает на стыке аналитики и искусства: занимается визуализацией данных, дата-артом и дата-сторителлингом, делает BI и дашборды.

Вот где можно посмотреть, как Наталья работает с данными и учит этому других:
▶️Комиксы о дата-визе
▶️Арт-проекты на основе данных
▶️Канал по визуализации данных для детей

Кстати, скоро там пройдёт детский конкурс по дата-визу. Участники будут креативить с графиками, диаграммами — и выигрывать подарки. Подать заявку можно до 5 ноября!

👀 Вот такая рекомендация для тех, кто не любит лонгриды, но тянется к знаниям. Пробуйте рисовать — кто знает, может, именно вы станете следующим Бирном.

Как учебник геометрии стал примером дизайн-мышления в образовании?

Продолжаем рассказ о книге Бирна. После ещё одного переиздания проект стал классикой нашей эпохи, где познание напрямую зависит от упаковки.

▶️Бирн предвосхитил приёмы, которые сегодня считаются каноном модернистского дизайна. Неслучайно статья на сайте Американского математического общества, посвящённая автору, называется «Оливер Бирн: Матисс математики».

▶️Современные иллюстраторы и типографы снова и снова вдохновляются его учебником. Например, небезызвестный дизайнер Николас Ружо выпустил интерактивную веб-версию книги — очень удобная вещь, советуем!

▶️Ещё одним громким событием стала публикация пакета для LaTeX, дающего возможность бирнифицировать текст. Его, кстати, разработал наш соотечественник — Сергей Слюсарев.

И, конечно, не можем оставить вас без ссылок на целые статьи, посвящённые этой книге, её переизданиям и другим работам Бирна:

🔸 материал американского портала The Verge
🔸 исследование немецкого центра KielSCN
🔸 заметка о современных учебных материалах, развивающих идеи Бирна

К чему мы это всё?

🔄Уравнения едва ли могут быть иллюстрацией. Они создают впечатление, что математика суха или укоренена в условностях. Но Бирну удалось сделать абстрактное наглядным. Должно быть, он любил математику не меньше нас🔄

Сохраняйте пост и делитесь со знакомыми дизайнерами — им точно будет полезно полистать евклидовы «Начала».

Рандомная рекомендация из канала ➡️ тык

#рекомендуем

Евклид в цвете 📐

Когда мы только начинали рассказывать про фундаментальные понятия математики, мы скромно сослались на это издание. На самом деле редакция от него фанатеет! И пришла пора объяснить, почему.

В XIX веке книга по математике редко выглядела увлекательно. Страницы были сплошь покрыты простынёй текста с длинными формулами и пугающими чертежами. Но вдруг в 1847 году в Лондоне вышла странная, почти модернистская книга —

⏩️Первые шесть книг «Начал» Евклида, в которых цветные диаграммы и символы заменяют буквы для облегчения понимания⏪️

На первый взгляд автор, Оливер Бирн, просто переиздал классический учебник геометрии, написанный Евклидом около 300 года до н. э. Но фишка была в том, что абстрактные буквенные обозначения обрели цвета и формы. Красные, синие, жёлтые геометрические фигуры сделали взаимодействие с абстрактным текстом последовательным — это было воистину инновационно!

Бирн верил, что визуальная интуиция должна стать главным инструментом обучения математике.

Его подход напоминает принципы, которые почти через сто лет воплотились в учебниках по визуальному мышлению, в системах изотипов Отто Нейрата и пиктограммах, а позже — в графических интерфейсах и UX-дизайне.

Правда в 1847 году это выглядело слишком радикально. Книгу напечатали, но стоила она дорого, продавалась плохо и быстро стала библиографической редкостью.

Интерес к ней вернул Эдвард Тафти — специалист по информационному дизайну. Когда в 2010 году на аукционе Christie’s продавалась его библиотека, среди прочего были выставлены два экземпляра «Начал Евклида» Бирна. Они ушли с молотка почти за 15 тысяч долларов!

Накидайте Бирну 🏆, если хотите знать, что произошло с его книгой дальше. Он точно не был к этому готов…

#это_база

Шарикоподшипниковская задача 🤯

Задачи об упаковке тел разной формы — целый класс оптимизационных задач, которые решают с помощью сложных алгоритмов. Но если нас устроит приближённый ответ, то можно подойти к вопросу с физической стороны:

Например, прикинуть размер атома, если считать, что он — крошечный шарик, и все такие шарики одинаковые и плотно упакованы в веществе.

Для этого нужно взять массу тела, разделить её на количество атомов и получить массу одного атома. Потом поделить эту величину на плотность вещества — и мы узнаем объём, из которого уже легко вычислить радиус.

✅ Такой приём часто используют в материаловедении и химии, когда нужно оценить параметры кристаллической решётки, расстояния между атомами и плотность упаковки в металлах, сплавах и кристаллах. Он помогает понять, почему материалы ведут себя по-разному при нагревании или деформации.

Но вернёмся к нашей задаче.

Решение задачи:

1️⃣По первой части условия можно определить массу всех шариков диаметром 30 мм: 5816 кг − 200 кг = 5616 кг.

2️⃣ Объём, который занимает сталь такой массы, равен: V = 5616 кг / 7800 кг/м³ = 0,72 м³. Значит, большие шарики занимают 72 % объёма бака, а 28 % (0,28 м³) остаются свободными.

3️⃣ Диаметры шариков отличаются в 10 раз, а значит, их объёмы — в 1000 раз. Поэтому можно пренебречь разностью кривизны шариков и стенок бака и считать, что маленькие шарики займут такой же процент оставшегося свободного объёма бака: 0,72 × 0,28 м³ = 0,2016 м³.

4️⃣ Тогда их масса будет равна: 0,2016 м³ × 7800 кг/м³ = 1572,48 кг.

5️⃣А вместе с баком и большими шариками: 5816 кг + 1572,48 кг = 7388,48 кг ≈ 7390 кг.

Ответ: 7390 кг.

Видим, что правильных ответов вчера было больше. Вы крутые! И кажется пора вам выкатить что-нибудь посложнее, да?

❤️— уровень норм, решаем всей семьёй
👀— хочу задачу на программирование
🤯— требую зубодробительных задач

#задача

Взболтать, но не смешивать

С плотностью деревянных кубиков вы справились. Сегодня усложним задачу и добавим к свойству ρ критерий упаковки.

🔸Условие: завод выпускает стальные шарики для подшипников двух размеров — 30 мм и 3 мм в диаметре.

Сначала в бак объёмом 1 м³ и массой 200 кг насыпали доверху шарики диаметром 30 мм, хорошенько потрясли, чтобы больше ни один шарик не влез, и взвесили. Оказалось, что бак с шариками весит 5816 кг.

Затем в тот же бак стали засыпать трёхмиллиметровые шарики и трясли до тех пор, пока они полностью не распределились по пустотам и добавить больше уже не удалось. Снова взвесили бак.

🔸Вопрос: какую цифру показали весы?

*️⃣Подсказка: плотность стали — 7800 кг/м³.

Нашли правильный ответ? Голосуйте за него в опросе ниже. Вес мы округлили до десятков килограммов, но в комментариях можно написать точное значение.

Нелли, методист Яндекс Лицея и автор этой задачи, всё проверит. А мы завтра опубликуем решение ❤️

#задача

Мы нашли формулу вдохновения 🧩

Что вы представляете, когда думаете о творчестве? Художника в муках вдохновения? Падающее на голову учёного яблоко? Сновидение с уже написанным музыкальным шедевром?

Творчество обычно кажется чем-то мистическим и неподвластным логике. Но что, если подчинить вдохновение статистическим законам?

🔄Это удалось сделать авторам видео The Mathematics of Creativity🔄

Его создатели рассмотрели творческий процесс с пяти разных сторон и рассказали, как к нему можно подойти с аналитической точки зрения.

Мы перевели этот крутой ролик и собрали главные тезисы в карточках. Формулу вдохновения дублируем:

Творчество = Попытки × Комбинации × Время × (Структура ↔ Свобода)

💬 Читайте и делитесь с друзьями — пусть муза станет не случайной гостьей, а навыком, который можно прокачать.

#рекомендуем

Похлопайте те, кто в начале карьеры дата-сайентиста боялся утонуть в дебрях статистики. Особенно много вопросов вызывали А/Б-тесты, верно❓

Мы уже рассказывали о пользе А/Б-тестирования для бизнеса, но нюансы метода не разбирали. И мы ни о чём не жалеем, потому что нашли канал, где уже собрано более 60 постов на эту тему.

В авторском канале Юрия Борзило вы найдёте материалы о продуктовой аналитике и наконец-то получите ответы на эти и другие вопросы:

🔸P-value, альфа, ошибка первого рода — это всё одно и тоже?
🔸Как выбрать статистический критерий?
🔸Почему за А/Б-тестами нельзя «подглядывать»?
🔸АА-тест показал статистически значимые отличия. Это норма?

📃 Будущие аналитики, забирайте канал себе в копилочку и читайте!

Смотрите, как мило: математика подсказывает вам направление для путешествия 👀

А если серьёзно, то карты уже давно подчиняются законам математики. Не так буквально, как на картинке, но маршруты, например, точно прокладывают алгоритмы на графах.

#меммат

Цезарь мёртв, да здравствует Цезарь

Вчера мы разобрали шифр Цезаря и затронули Атбаш. Главный недостаток таких шифров — сохранение частотной структуры языка.

Самые частые буквы остаются самыми частыми, поэтому такой шифр легко взломать. А сейчас мы расскажем о шифре, которому удалось обойти эту «слабость».

Le chiffre indéchiffrable de Vigenère 🧩

Так по-французски называли «неподдающийся расшифровке» шифр Виженера. Его изобрели в XVI веке, и до XIX века к нему не могли подобрать метод решения. Всё дело в ключевом слове: его используют циклично, смещая для каждой позиции.

Можно сказать, что это множественное «побуквенное» применение шифра Цезаря, чередующееся по правилу ключа. Оно нарушает простую частотную корреляцию между исходным текстом и шифротекстом, делая анализ сложнее. Вот пример:

Возьмём английский алфавит A–Z (26 букв) и, например, слово LEMON в качестве ключа. Шифровать будем открытый текст ATTACKATDAWN.

Считаем, что A=0, B=1, …, Z=25. Для каждой буквы открытого текста берём соответствующую букву ключа (циклично) и сдвигаем:

A (0) + L (11) = L (11)
T (19) + E (4) = X (23)
T (19) + M (12) = F (5)
A (0) + O (14) = O (14)
C (2) + N (13) = P (15)
и т.д. по циклу.

Текст: A T T A C K A T D A W N
Ключ: L E M O N L E M O N L E
Шифр: L X F O P V E F R N H R

Обратным сдвигом по ключу можно произвести и дешифрование этого сообщения, но без знания ключа — это проблематично.

Как же взломать шифр Виженера❓

Если ключ случайный и больше сообщения по длине, шифрование становится теоретически неразрушимым. Но это редкий и фактически не используемый случай.

А вот короткий повторяющийся ключ, как LEMON в примере, уязвим. И есть разные способы его восстановить. Приведём несколько методов:

🔸Сначала необходимо определить длину исходного ключа. Это можно сделать, например, по методу Касиски — искать повторяющиеся фрагменты в шифротексте. Расстояния между ними часто делятся на длину ключа — это наша первая подсказка.

🔸Ещё есть статистический метод Фридмана, оценивающий вероятность совпадений букв при сдвиге — индекс совпадения. Если мы правильно угадали длину ключа k, то, разбив шифротекст на k потоков (буквы через каждые k позиций), внутри каждого получим обычный шифр Цезаря.

🔄Индекс совпадений измеряет, насколько часто в тексте встречаются одинаковые буквы. Для английского текста он равен примерно 0.065, для случайной абракадабры — около 0.038. Нужно найти то k, при котором индексы приближаются к 0.065 — это и будет искомая длина ключа🔄

Если же длину ключа k удалось установить, для каждого потока можно применить обычный частотный анализ, подобрать смещение и восстановить букву ключа.

🔸Если ключ короткий, можно использовать брутфорс — перебрать все возможные ключи: при алфавите из 26 букв и длине ключа k достаточно рассмотреть 26^k вариантов:

▶️для k = 3 это 17 576 — легко
▶️для k = 6 — около 309 млн — на грани, но достижимо
▶️для k = 10 — имеем 1,4·10^14 — почти невозможно для перебора на персональном компьютере

Однако современные методы (комбинация статистики, эвристик и вычислительной мощности) позволяют сократить пространство поиска.

Как вам тема? Интересно читать про настоящую криптографию или вы ждали разоблачение Дэна Брауна?

😐 — «Код да Винчи» не трогать
😍 — хочу узнать про математику «Энигмы»

#как_устроено

Легко ли быть… криптографом❓

Шифр, который мы использовали в первом сообщении, называется шифр Цезаря. Это один из старейших и простейших методов шифрования информации. Вот в чём его суть:

Каждая буква заменяется на другую, сдвинутую на фиксированное число позиций в алфавите. Это фиксированное число называется ключом шифра.

В нашем случае ключ равен -9, то есть Я переходит в И, и так далее.

Получим ответ:
Я ючоьг гдь фйч гчйьгчйябч? → И зачем мне эта математика?

Если вам вдруг придётся расшифровывать подобное сообщение на английском, то сразу делимся сайтом!

Ещё один похожий шифр называется Атбаш. Он пришёл из древнего иврита: в нём первая буква алфавита заменялась на последнюю, вторая — на предпоследнюю, и так далее. То есть в русском алфавите А превращается в Я, Б — в Ю, В — в Э и так далее

Но ни шифр Цезаря, ни Атбаш не помогут вам расшифровать наше сообщение.

Простым сдвигом или зеркальным отражением оно не объясняется. Каждая буква здесь живёт по собственным правилам.

Такой тип шифров называют полиалфавитными. В отличие от моноалфавитных, где каждая буква меняется по одному и тому же правилу, в полиалфавитных шифрах правила меняются для каждого символа.

Шифр для нашего второго сообщения можно назвать позиционно-полиалфавитным — сдвиг зависит от позиции буквы в слове. А именно: первая сдвигается на 1, вторая — на 2, третья — на 3 и так далее.

Получаем:
Гэ птрфкюд! → Вы молодцы!

Кстати, именно эта идея — что ключ может меняться — и стала основой одного очень важного шифра в истории человечества: шифра Виженера. В нём сдвиг каждой буквы определяется ключевым словом. Хотите знать каким?

Накидайте огоньков — и мы расскажем!

#задача

Сегодня у нас особенная задача — зашифрованная ✏️

Всего-то и нужно — понять, что написано здесь:

Я ючоьг гдь фйч гчйьгчйябч?

Тем, кто всё знал или сходу догадался, со всей ответственностью сообщаем:

Гэ птрфкюд!

Пишите расшифровки обеих фраз в комментах под спойлером.

Решить рандомную задачу из канала — тык

#задача

Когда учитель попросил объяснить решение, а оно списано

А вообще, поделитесь: вы из какой команды? Мы в редакции разделились, но лукавить не будем — было у всех…

🤓 — списывать плохо и бессмысленно
🗿 — ГДЗ и GPT — мои лучшие друзья

#меммат