На вчерашнюю задачу было много правильных ответов. Класс! Мы этому очень рады.

Эта задача хороша тем, что результаты возведения в степень слишком большие, тут просто так на калькуляторе не проверишь. :)
Нужно порассуждать — всё, как мы любим!

Степени любого числа имеют любопытное свойство — их последние цифры сменяются по собственному циклу. Некоторые циклы банальные: все степени 5 оканчиваются на 5, все степени 6 — на 6, а все степени 1, 11, 21 и прочих чисел с 1 в правом разряде — оканчиваются единичкой.

Для двойки ситуация интереснее. Выпишем по порядку её первые степени:
2¹=2,
2²=4,
2³=8,
2⁴=16.

Пока ничего необычного. Посмотрим, что происходит дальше:
2⁵=32,
2⁶=64,
2⁷=128,
2⁸=256.

Окончания степеней повторяются, причём в том же порядке! Пойдём ещё дальше:
2⁹=512,
2¹⁰=1024,
2¹¹=2048,
2¹²=4096 и так далее с теми же окончаниями.

Наблюдаем цикл окончаний: 2-4-8-6. Его длина равна 4.

Получается, каждый показатель степени «сцеплен» с определённым окончанием результата. Это связано с остатками от деления на 4.

Сформулируем правило:
— Если показатель степени делится на 4 с остатком 1 (как числа 1, 5, 9, 13 и так далее), то результат оканчивается на 2;
— Если показатель степени делится на 4 с остатком 2 (как числа 2, 6, 10, 14 и так далее), то результат оканчивается на 4;
— Если показатель степени делится на 4 с остатком 3 (как числа 3, 7, 11, 15 и так далее), то результат оканчивается на 8;
— Если показатель степени делится на 4 нацело, то результат оканчивается на 6.

Теперь вернёмся к задаче и посмотрим на 2²⁰²³. Показатель 2023 делится на 4 с остатком 3. Значит, итоговое длинное число оканчивается на 8.

И напоследок разберёмся с 3²⁰²³. Окончания степеней тройки тоже цикличны. Цикл выглядит так: 3-9-7-1, его длина снова равна 4. И так как 2023 всё ещё делится на 4 с остатком 3, то результат 3²⁰²³ оканчивается на третье число из этого цикла, то есть на 7.

Ответ: 8 и 7.

Остатки от деления вообще очень полезные, мы про них ещё поговорим!