[ продолжение поста о размещениях и сочетаниях ]

Если порядок важен

Если порядок важен, то вычислить количество возможных коктейлей из трёх ингредиентов поможет правило произведения: существует 10*9*8 = 720 вариантов. Мы только что нашли количество размещений из 10 по 3. Это похоже на «укороченную» перестановку: порядок важен, но количество доступных слотов меньше общего количества элементов.

В общем виде количество размещений из n по k вычисляют как n! ÷ (n-k)! или n*(n-1)*(n-2)*…*(n-k+1).
В записи через произведение будет k множителей.

Размещения применяют:
• Когда нужно выбрать несколько элементов для разных целей, разных дней, разных ролей.
• В задачах на расположение, когда элементы различимы. Например, надо выбрать несколько человек из группы и разместить их на креслах в кинотеатре. Люди разные, поэтому имеет значение, кто где сядет.

Если порядок не важен

Вернёмся в ситуацию выбора 3 ингредиентов из 10. Теперь рассмотрим ситуацию, когда напитки просто перемешивают. Тогда порядок, в котором их выберут, не важен. Значит, набор ABC для нас не отличается от, например, набора BCA.

Сколько наборов «склеятся» в один? Столько, сколько возможно перестановок из 3 элементов, то есть 3!. Значит, чтобы получить количество вариантов выбора 3 из 10 без учёта порядка, нужно предыдущий ответ поделить на 3!:

(10*9*8) ÷ 3! = 720 ÷ 6 = 120.
Число заметно уменьшилось!

Мы нашли количество сочетаний из 10 по 3.

В общем виде количество сочетаний из n по k вычисляют как n! ÷ ((n-k)!*k!).

Cочетания применяют, если:
• Выбирают несколько элементов одновременно. В учебниках по математике самый частый пример — мешок с шариками, из которого вытаскивают несколько шариков за раз, одной горстью.
• Выбирают пару (тройку, группу) для взаимного или равноправного процесса. Например, двух человек для партии в шахматы, две команды для игры в хоккей, три бренда одежды для коллаборации, две точки для соединения отрезком, десять человек для хора.

Задачка для вас

Владелец ресторана составляет график работы официантов. Всего в штате 12 официантов, и каждый день должно работать 5 из них.

1) Сколько разных вариантов смен может составить владелец ресторана, если задачи всех официантов одинаковые?

2) Сколько разных вариантов смен может составить владелец ресторана, если в смене каждому официанту дают свою уникальную задачу?

Ответы традиционно ждём в комментариях под скрытым текстом.