Что такое зависимость в математике

Зависимость — это связь между двумя величинами. Длина ребра куба и его объём, стоимость каждого товара и сумма в чеке, рост и длина стопы — всё это примеры зависимостей.

Чаще всего работают с зависимостями, которые можно записать формулами. Обычно говорят о зависимости переменной y от переменной x.

Функции
Функция — это такая зависимость y от x, где каждому допустимому x соответствует только одно значение y.

Примеры функций: y=5x-7, 4y-x²=8, y=tgx-2ˣ. Если мы подставим какой-то x в каждую из формул, то однозначно посчитаем y. При этом для разных x могут получаться одинаковые y. Поэтому, скажем, y=sinx — это функция.

Уравнения
Уравнения описывают формулами разные зависимости: и функциональные, и не очень. В них одному x может соответствовать сколько угодно y, совсем необязательно один. То есть это более общий класс с менее строгими ограничениями.

Например, x=y². Возьмём значение x=4, ему соответствуют два разных y: это 2 и -2.
Или рассмотрим уравнение x=5 — тут вообще одному-единственному x подходит бесконечно много y. Эти примеры — не функции, но уравнения.

Новогодняя аналогия
Пусть x — это подарки, а y — это люди.

Удачный новый год — когда зависимость функциональная: у каждого подарка есть один будущий хозяин. При этом у людей может быть и по несколько подарков.

Новый год не удался — когда зависимость не функциональная: какой-то подарок оказался сразу для нескольких людей. Пусть с вами такого не случится :)

Отличаем по графику
Выяснить, функция перед нами или нет, поможет график! Проведём воображаемую вертикальную линию, подвигаем её вдоль графика функции и посмотрим на точки пересечения. Если везде одна, то перед нами функция. А если хоть где-то больше, то нет.
Посмотреть, как это происходит, можно на интерактивной объяснялке из курса «Математика для анализа данных».

В комментариях предлагаем привести ещё новогодние примеры функций и не-функций.