В математике встречаются теоремы с пафосными названиями. 😅
Сразу приходит на ум Великая теорема Ферма — не просто «теорема Ферма о решениях такого-то вида», а именно Великая теорема Ферма.

Есть и другие, не менее величественно звучащие. Например, основная теорема алгебры — не просто «теорема о количестве корней многочлена», а вот прям «основная(!) теорема алгебры (всей!)». Кажется, некоторые математики — прирождённые маркетологи. 😎
Ведь невозможно удержаться, чтобы не узнать, что же это за теорема такая. Не будем вас томить — расскажем.

Немножко вспомним про комплексные числа
Комплексные числа — это числа вида a+b*i, где i — это √(-1), a и b — действительные числа (это все наши обычные числа с любым количеством знаков после запятой).
Действительные числа — тоже являются комплексными. Просто подставляем в определение b=0 и у нас остаётся только a.

Формулировка теоремы
Возьмём многочлен с комплексными коэффициентами.
Основная теорема алгебры гласит, что если он имеет первую степень или выше — у него всегда существует по крайней мере один комплексный корень. Корень этот не всегда просто найти — но это уже детали. 🙃

Например, многочлены x²-2 и x⁶+x³+1 точно имеют хотя бы один комплексный корень. Да и вообще любые многочлены. :)

Следствие
У этой теоремы есть очень важное следствие, чаще всего используют именно его.
Возьмём многочлен степени n — это значит, что максимальная степень переменной в нём равна n.
Сколько у него корней? Хороший вопрос, на который чётко отвечает следствие основной теоремы алгебры: ровно n комплексных.
Например, у любого многочлена третьй степени будет ровно 3 комплексных корня.

В алгебре вообще часто ищут корни. Так что знать их количество — полезно, ведь так мы понимаем, когда точно можно остановиться в поисках!

Нюанс
В следствии теоремы есть небольшая хитрость. Например, рассмотрим многочлен x²-2x+1. Его коэффициенты — действительные, а значит, и комплексные тоже, так что к нему можно применить основную теорему алгебры и её следствие.

Степень этого многочлена — вторая, значит, у него должны быть два корня. Чтобы найти их, разложим его на множители:
x²-2x+1=(x-1)².
Приравняем к нулю: (x-1)²=0, получим x=1, и всё, других нет.

Следствие теоремы не верно? Верно, просто есть нюанс. 😁
Никто не говорит о том, что корни должны быть разные. Они могут совпадать! Всё потому, что у каждого корня есть кратность.

Что такое кратность
Каждый многочлен можно разложить на множители. Количество скобок, которые обнуляет корень, и называется его кратностью.
Например, в уравнении (x-1)²=(x-1)(x-1)=0 корень x=1 обнуляет две скобки — значит, его кратность равна 2.

В таких случаях математики считают, что исходный многочлен имеет два совпадающих корня. Так ничего не поломается!

Ещё пример
Многочлен четвёртой степени (x+i)(x-2)³ имеет такие корни:
• x=-i — этот корень обнуляет одну скобку и имеет кратность 1,
• x=2 — обнуляет три одинаковые скобки и поэтому имеет кратность 3.

Итого степень у многочлена четвёртая, различных корней — два, но с учётом кратности — четыре корня, всё хорошо.

Для желающих поупражняться
Предлагаем найти все три комплексных корня многочлена x³-4x²+9x-36. Решения и ответы пишите под скрытым текстом.