Как классифицировать числа на множества

Наверняка многие из вас узнают множества на верхней картинке: это множества натуральных, целых, действительных и комплексных чисел. Они расположены «матрёшкой» друг относительно друга, то есть одно множество целиком содержится в другом и так далее.

Этот способ классифицировать числа по множествам — привычный, но не единственный! Сегодня мы поговорим о другом подходе — с его помощью можно разделить числа на алгебраические и трансцендентные. Названия могут немного напугать, но мы сейчас всё аккуратно объясним.

Возьмём многочлен любой степени с целыми коэффициентами.
Какими будут его корни?
• Иногда целыми, например, для x-1=0.
• Иногда — рациональными, например, для 2x³-7x=0.
• Иногда — иррациональными: √2 — это корень уравнения x²-2=0.
• А иногда — комплексными, например, в x⁴+5=0.

Так вот: для корней уравнения с целыми (и даже рациональными) коэффициентами придумали специальное название. Одно из названий таких уравнений — алгебраическиие, и их корни называют алгебраическими числами.

Может показаться, что алгебраическим является любое число. Но нет — существуют доказательства того, что, например, известные всем числа π, e или lg5 не подойдут в качестве корня никакому алгебраическому уравнению. Такие числа называют трансцендентными.

Доказать, что число является алгебраическим, просто — нужно лишь показать уравнение, чьим корнем оно является. Доказать трансцендентность числа в разы сложнее, ведь невозможно просто перебрать все уравнения и увидеть, что ни у кого нет вот такого корня. Каждое доказательство трансцендентности — большое достижение математики.